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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求各位大神帮忙解决一个积分的问题
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yinuolixuan

金虫 (小有名气)

[求助] 求各位大神帮忙解决一个积分的问题 已有2人参与

我是学物理的，最近遇到一个积分问题，不知道怎么求解，希望各位数学大神帮忙看看。
先谢过了。附件是公式。

求各位大神帮忙解决一个积分的问题
公式.JPG
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1楼 2016-09-17 22:14:57
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
yinuolixuan: 金币+20, ★有帮助, 谢谢了，送悄金币了 2016-09-18 08:36:36
题目：试证：无穷积分


证明：
赞一下(3人) 回复此楼
青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
2楼2016-09-18 03:30:09
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
楼主需要一些定义来得到以下公式

当z>0时，

解释： Gamma函数由 定义, 一个变量替换后即有



两边都对k从1到无穷求和，由Riemann zeta函数 定义式 , 以及几何级数


知道

而楼主想要的定积分一个分部积分后有 , 于是得到上述公式。

特别地，当z=4时， , , 恰好得到楼主给出的公式
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» 本帖已获得的红花（最新10朵）

yinuolixuan
We_must_know. We_will_know.
3楼2016-09-18 03:33:00
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yinuolixuan

金虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-09-18 03:30:09
题目：试证：无穷积分
\int_0^{+\infty}\frac{x^4e^x}{(e^x-1)^2}dx=\frac{4\pi^4}{15}
证明：
\int_0^{+\infty}\frac{x^4e^x}{(e^x-1)^2}dx=\int_0^{+\infty}x^4e^{-x}\left(\sum\limits_{n=0}^{+\infty}e^{-nx ...

非常感谢你的回答。
赞一下 回复此楼
4楼2016-09-18 08:36:02
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yinuolixuan

金虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2016-09-18 03:33:00
楼主需要一些定义来得到以下公式

当z>0时， \int_0^{\infty}\frac{x^z e^x}{(e^x-1)^2}dx=z\Gamma(z)\cdot \zeta(z)

解释： Gamma函数由 \Gamma(z)=\int_0^{\infty} x^{z-1}e^{-x} dx 定义, 一个变量替换 ...

非常谢谢回答，解决了我的问题。
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5楼2016-09-18 08:37:26
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yinuolixuan

金虫 (小有名气)
送红花一朵
引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2016-09-18 03:33:00
楼主需要一些定义来得到以下公式

当z>0时， \int_0^{\infty}\frac{x^z e^x}{(e^x-1)^2}dx=z\Gamma(z)\cdot \zeta(z)

解释： Gamma函数由 \Gamma(z)=\int_0^{\infty} x^{z-1}e^{-x} dx 定义, 一个变量替换 ...

送红花
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6楼2016-09-18 08:39:42
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