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yinuolixuan

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[求助] 求各位大神帮忙解决一个积分的问题已有2人参与

我是学物理的，最近遇到一个积分问题，不知道怎么求解，希望各位数学大神帮忙看看。
先谢过了。附件是公式。

公式.JPG

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1楼2016-09-17 22:14:57

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Edstrayer

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
yinuolixuan: 金币+20, ★有帮助, 谢谢了，送悄金币了 2016-09-18 08:36:36

题目：试证：无穷积分

$\int_0^{+\infty}\frac{x^4e^x}{(e^x-1)^2}dx=\frac{4\pi^4}{15}$

证明：
$\int_0^{+\infty}\frac{x^4e^x}{(e^x-1)^2}dx=\int_0^{+\infty}x^4e^{-x}\left(\sum\limits_{n=0}^{+\infty}e^{-nx}\right)^2dx$
$=\int_0^{+\infty}x^4e^{-x}\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(n+1)e^{-nx}dx$
$=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(n+1)\int_0^{+\infty}x^4e^{-(n+1)x}dx$
$=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(n+1)\frac{4!}{(n+1)^5}dx$
$=\frac{4\pi^4}{15}$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2016-09-18 03:30:09

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hank612

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

楼主需要一些定义来得到以下公式

当z>0时， $\int_0^{\infty}\frac{x^z e^x}{(e^x-1)^2}dx=z\Gamma(z)\cdot \zeta(z)$

解释： Gamma函数由 $\Gamma(z)=\int_0^{\infty} x^{z-1}e^{-x} dx$ 定义, 一个变量替换后即有

$\int_{0}^{\infty}x^{z-1}e^{-kx}dx=\frac{\Gamma(z)}{k^z}$

两边都对k从1到无穷求和，由Riemann zeta函数定义式 $\zeta(z)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^z}$ , 以及几何级数
$\sum_{k=1}^{\infty}e^{-kx}=\frac{1}{e^x-1}$

知道 $\int_{0}^{\infty}\frac{x^{z-1}}{e^x-1}dx=\Gamma(z)\cdot \zeta(z)$

而楼主想要的定积分一个分部积分后有 $\int_{0}^{\infty}\frac{x^z e^x}{(e^x-1)^2}dx=-\frac{x^z}{e^x-1}|_{0}^{\infty}+\infty_{0}^{\infty}\frac{z x^{z-1}}{e^x-1}dx$ , 于是得到上述公式。

特别地，当z=4时， $4\Gamma(4)=4!=24$ , $\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}$ , 恰好得到楼主给出的公式

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» 本帖已获得的红花（最新10朵）

yinuolixuan

We_must_know. We_will_know.

3楼2016-09-18 03:33:00

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引用回帖:

2楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-09-18 03:30:09
题目：试证：无穷积分
\int_0^{+\infty}\frac{x^4e^x}{(e^x-1)^2}dx=\frac{4\pi^4}{15}
证明：
\int_0^{+\infty}\frac{x^4e^x}{(e^x-1)^2}dx=\int_0^{+\infty}x^4e^{-x}\left(\sum\limits_{n=0}^{+\infty}e^{-nx ...

非常感谢你的回答。

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4楼2016-09-18 08:36:02

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引用回帖:

3楼: Originally posted by hank612 at 2016-09-18 03:33:00
楼主需要一些定义来得到以下公式

当z>0时， \int_0^{\infty}\frac{x^z e^x}{(e^x-1)^2}dx=z\Gamma(z)\cdot \zeta(z)

解释： Gamma函数由 \Gamma(z)=\int_0^{\infty} x^{z-1}e^{-x} dx 定义, 一个变量替换 ...

非常谢谢回答，解决了我的问题。

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5楼2016-09-18 08:37:26

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送红花一朵

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送红花

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6楼2016-09-18 08:39:42

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