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shakerspear

至尊木虫 (著名写手)

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[交流] 原来还可以这样求球谐函数已有3人参与

这篇文章http://arxiv.org/abs/1201.0136里，把公式
$\begin{matrix} \left \{ \begin{array}{l} \hat{L}_{z}|lm\rangle=m\hbar|lm\rangle \\ \begin{array}{ll} \hat{L}_{+}|lm\rangle=\hbar\sqrt{(l+m+1)(l-m)}|lm+1\rangle & (l=0,1,\dots;m=-l,1-l,\dots,l)\\ \end{array}\\ \hat{L}_{-}|lm\rangle=\hbar\sqrt{(l+m)(l-m+1)}|lm-1\rangle \\ \end{array}\right. \end{matrix}$
中的|lm>换成 $Y_{lm}$ ,也就是
$\begin{matrix} \left \{ \begin{array}{l} \hat{L}_{z}Y_{lm}=m\hbar Y_{lm} \\ \begin{array}{ll} \hat{L}_{+}Y_{lm}=\hbar\sqrt{(l+m+1)(l-m)}Y_{lm+1} & (l=0,1,\dots;m=-l,1-l,\dots,l)\\ \end{array}\\ \hat{L}_{-}Y_{lm}=\hbar\sqrt{(l+m)(l-m+1)}Y_{lm-1} \\ \end{array}\right. \end{matrix}$
变成一个超定方程组，倒确实可以求出球谐函数。已知角动量算符的微分形式
$\begin{matrix} \left \{ \begin{array}{l} \hat{L}_{+} = \hbar e^{i\varphi}(\frac{\partial}{\partial\theta}+icot\theta\frac{\partial}{\partial\varphi}) \\ \begin{array}{l}\hat{L}_{-}=\hbar e^{-i\varphi}(-\frac{\partial}{\partial\theta}+icot\theta\frac{\partial}{\partial\varphi})\\ \end{array}\\ \hat{L}_{z}=-i\hbar \frac{\partial}{\partial\varphi}\\ \end{array}\right. \end{matrix}$
当l=0时，可以通过方程组
$\left\{ \begin{matrix} -i\hbar \frac{\partial Y_{00}}{\partial\varphi}=0\\ \hbar e^{-i\varphi}(-\frac{\partial Y_{00}}{\partial\theta}+icot\theta\frac{\partial Y_{00}}{\partial\varphi})=0 \end{matrix}\right.$
利用波函数的正交归一性，来求出基态波函数
$Y_{00}=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}$
当l=1时，m=-1,0,1,可以通过方程组
$\left\{ \begin{matrix} -i\hbar \frac{\partial Y_{1-1}}{\partial\varphi}=-\hbar Y_{1-1}\\ \hbar e^{-i\varphi}(-\frac{\partial Y_{1-1}}{\partial\theta}+icot\theta\frac{\partial Y_{1-1}}{\partial\varphi})=0 \end{matrix}\right.$
来求出波函数
$Y_{1-1}=\sqrt{\frac{3}{8\pi}}sin\theta e^{-i\varphi}$
再利用求得的波函数 $Y_{1-1$ 和角动量微分形式，求导数得到另外两个波函数 $Y_{10}$ 和 $Y_{11}$ ,即
$\begin{matrix} Y_{10}=\frac{1}{\sqrt{2}\hbar}\hat{L}_{+}Y_{1-1}=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}cos\theta\\ Y_{11}=\frac{1}{\sqrt{2}\hbar}\hat{L}_{+}Y_{10}=-\sqrt{\frac{3}{8\pi}}sin\theta e^{i\varphi}\end{matrix}$
当l=2时
... ...
类似地，可以求出所有的球谐函数
这样，就可以不用像教材上一样，要求二阶微分方程

[ Last edited by shakerspear on 2016-9-9 at 15:45 ]

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1楼 2016-09-07 08:23:49

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ra2ghgzh

木虫 (正式写手)

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2楼: Originally posted by shakerspear at 2016-09-07 08:31:54
居然没显示出来
\begin{matrix}
\left \{ \begin{array}{l}
   \hat{L}_{z}|lm\rangle=m\hbar|lm\rangle \\
   \begin{array}{ll}
   \hat{L}_{+}|lm\rangle=\hbar\sqrt{(l+m+1)(l-m)}|lm+1\rangle ...

还是没显示

$\begin{matrix} \left \{ \begin{array}{l} \hat{L}_{z}|lm\rangle=m\hbar|lm\rangle \\ \begin{array}{ll} \hat{L}_{+}|lm\rangle=\hbar\sqrt{(l+m+1)(l-m)}|lm+1\rangle & (l=0,1,\dots;m=-l,1-l,\dots,l\\ \end{array}\\ \hat{L}_{-}|lm\rangle=\hbar\sqrt{(l+m)(l-m+1)}|lm-1\rangle \\ \end{array}\right. \end{matrix}$

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我永远当不了老板

3楼2016-09-07 08:33:33

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shakerspear

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3楼: Originally posted by ra2ghgzh at 2016-09-07 08:33:33
还是没显示

\begin{matrix} \left \{ \begin{array}{l} \hat{L}_{z}|lm\rangle=m\hbar|lm\rangle \\ \begin{array}{ll} \hat{L}_{+}|lm\rangle=\hbar\sqrt{(l+m+1)(l-m)}|lm+1\rangle & (l=0,1,\dots; ...

现在直接用图片，能显示出来了吧，刚用latex，方程组这类，编辑公式，还没通过

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4楼2016-09-07 08:47:24

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shakerspear

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3楼: Originally posted by ra2ghgzh at 2016-09-07 08:33:33
还是没显示

\begin{matrix} \left \{ \begin{array}{l} \hat{L}_{z}|lm\rangle=m\hbar|lm\rangle \\ \begin{array}{ll} \hat{L}_{+}|lm\rangle=\hbar\sqrt{(l+m+1)(l-m)}|lm+1\rangle & (l=0,1,\dots; ...

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