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liu6tot

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[求助] 干支纪年方法与中国剩余定理的关系已有1人参与

最近在研究数学文化课的内容，觉得有必要对学生交代清楚干支与中国剩余定理的关系。于是做了一点点稍微深入的阅读。现在遇到个问题，卡在那里了。也许是我比较笨百思不得其解。现将问题叙述如下
已知干支纪年有一个序号关系如下：
1.甲子 2.乙丑 3.丙寅 4.丁卯 5.戊辰 6.己巳 7.庚午 8.辛未
9.壬申 10.癸酉 11.甲戌 12.乙亥 13.丙子 14.丁丑 15.戊寅 16.己卯
17.庚辰 18.辛巳 19.壬午 20.癸未 21.甲申 22.乙酉 23.丙戌 24.丁亥
25.戊子 26.己丑 27.庚寅 28.辛卯 29.壬辰 30.癸巳 31.甲午 32.乙未
33.丙申 34.丁酉 35.戊戌 36.己亥 37.庚子 38.辛丑 39.任寅 40.癸卯
41.甲辰 42.乙巳 43.丙午 44.丁未 45.戊申 46.己酉 47.庚戌 48.辛亥
49.壬子 50.癸丑 51.甲寅 52.乙卯 53.丙辰 54.丁己 55.戊午 56.己未
57.庚申 58.辛酉 59.壬戌 60.癸亥
我在网上找了一些资料得知如果需要推算某个干支在上面表中的序号，比如“戊午”，只需要知道“戊”在天干中的排名5，“午”在地支中的排名7.然后建立如下的同余方程

百度上的资料说，利用中国剩余定理，很容易得出上面这个方程得解为

而这个55就是“戊午”在上面排序中的对应序号。
现在的问题是：这个解为什么是这样的？我总要探究个清楚。因为根据我所知，中国剩余定理要求上面方程组的除数必须是互质的，对于并不互质的方程，这个“容易得出”究竟是怎么推导出的?
还请这里的同学帮忙指正。

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无事勤观书,闲则执老壶

1楼2016-07-26 20:21:21

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Edstrayer

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
liu6tot: 金币+10, ★★★很有帮助 2016-07-29 10:43:29

引用回帖:

6楼: Originally posted by liu6tot at 2016-07-27 21:25:48
比如以我帖子里的那个形式举例呢？...

以两个方程为例。
求解同余方程组

$\left\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(mod m_1)\\x\equiv a_2(mod m_2)\end{array}\right.$

解：由同余方程组可以得到：

$x=m_1y+a_1=m_2z+a_2$

即

$m_1y-m_2z=a_2-a_1$

显然，此二元一次方程有解当且仅当 $(m_1,m_2)|(a_2-a_1)$ ，而且在有解的时候，方程等价于

$\frac{m_1}{(m_1,m_2)}y-\frac{m_2}{(m_1,m_2)}z=\frac{a_2-a_1}{(m_1,m_2)}$

由于

$\left( \frac{m_1}{(m_1,m_2)}, \frac{m_2}{(m_1,m_2)}\right)=1$

上述方程显然有解，其通解可以表示成：

$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{m_2}{(m_1,m_2)}t+y_0\\z= \frac{m_1}{(m_1,m_2)}t+z_0\end{array}\right.$

这里 $(y_0,z_0)$ 是一组特解。从而就得到：

$x=m_1\frac{m_2}{(m_1,m_2)}t+m_1y_0+a_1=[m_1,m_2]t+x_0$

因此，x关于模 $[m_1,m_2]$ 是唯一的。

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

7楼2016-07-28 01:03:51

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Edstrayer

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
liu6tot: 金币+20, ★有帮助 2016-07-27 21:28:00

中国剩余定理有一个推广，处理模不是互素的情形：
中国剩余定理的推广：证明同余方程

$\left\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(mod m_1)\\x\equiv a_2(mod m_2)\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\\x\equiv a_k(mod m_k)\end{array}\right.$

有解当且仅当对所有整数对(i,j)，有 $(m_i,m_j)|(a_i-a_j)$ ，其中 $1\leqslant i<j\leqslant k$ 。进一步地，如果有解，则它是模 $[m_1,m_2,\cdots,m_k]$ 唯一的。
证明：利用数学归纳法。

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2楼2016-07-27 02:49:24

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引用回帖:

2楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-07-27 02:49:24
中国剩余定理有一个推广，处理模不是互素的情形：
中国剩余定理的推广：证明同余方程
\left\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(mod m_1)\\x\equiv a_2(mod m_2)\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\\x\equiv a_k(mod m_k)\en ...

那么这个解的形式是什么样子的?

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无事勤观书,闲则执老壶

3楼2016-07-27 10:43:12

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3楼: Originally posted by liu6tot at 2016-07-27 10:43:12
那么这个解的形式是什么样子的?...

形式推导吧

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

4楼2016-07-27 20:39:19

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