应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜    

小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学资源 » Lecture Notes in Mathematics 2156【Néron Models and Base Change】
151/1返回列表
查看: 1219  |  回复: 14
只看楼主 @他人 存档 新回复提醒 (忽略) 收藏    在APP中查看
【奖励】 本帖被评价14次，作者maojun1998增加金币 11.2 个

maojun1998

银虫 (正式写手)

[资源] Lecture Notes in Mathematics 2156【Néron Models and Base Change】

Contents
Part I About This Book
1 Content of This Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Motivation and Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Abelian Varieties in Number Theory and Geometry . . . . . . . 9
2.1.2 Degenerating Families of Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3 Néron Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.4 Semi-Abelian Reduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.5 Behaviour Under Base Change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.6 Jacobians, Stable Curves and Semi-Abelian Reduction.. . . 13
2.1.7 Example: Elliptic Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.8 Motivic Zeta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Aim of This Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Semi-Abelian Varieties and Wildly Ramified Jacobians . . . 16
2.2.2 A Guiding Principle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.3 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1 Galois Theory of K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1 The Artin Conductor .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.2 Isolating the Wild Part of the Conductor.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Subtori of Algebraic Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.1 Maximal Subtori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2 Basic Properties of the Reductive Rank. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Néron Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.1 The Néron Model and the Component Group . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.2 The Toric Rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.3 Néron Models and Base Change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.4 Example: The Néron lft-Model of a Split
Algebraic Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
vii
viii Contents
3.3.5 The Néron Component Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.6 Semi-Abelian Reduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.7 Non-Archimedean Uniformization .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Models of Curves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.1 Sncd-Models and Combinatorial Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.2 A Theorem of Winters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4.3 Néron Models of Jacobians. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4.4 Semi-Stable Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Part II Néron Component Groups of Semi-Abelian Varieties
4 Models of Curves and the Néron Component Series
of a Jacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1 Sncd-Models and Tame Base Change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.1 Base Change and Normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.2 Local Computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.3 Minimal Desingularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 The Characteristic Polynomial and the Stabilization Index . . . . . . . . 43
4.2.1 The Characteristic Polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.2 The Stabilization Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.3 Applications to sncd-Models and Base Change . . . . . . . . . . . . 49
4.3 The Néron Component Series of a Jacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.1 Rationality of the Component Series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 Appendix: Locally Toric Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.1 Resolution of Locally Toric Singularities .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.2 Tame Cyclic Quotient Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Component Groups and Non-Archimedean
Uniformization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1 Component Groups of Smooth Sheaves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.1 The Work of Bosch and Xarles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.2 Identity Component and Component Group
of a Smooth Sheaf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.3 Some Basic Properties of the Component Group.. . . . . . . . . . 64
5.1.4 The Trace Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2 The Index of a Semi-Abelian K-Variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.1 Definition of the Index .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.2 Example: The Index of a K-Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3 Component Groups and Base Change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3.1 Uniformization of Semi-Abelian Varieties. . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3.2 Bounded Rigid Varieties and Torsors Under
Analytic Tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3.3 Behaviour of the Component Group Under
Base Change. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3.4 The Component Series of a Semi-Abelian Variety . . . . . . . . . 85
Part III Chai and Yu’s Base Change Conductor
and Edixhoven’s Filtration
6 The Base Change Conductor and Edixhoven’s Filtration . . . . . . . . . . . . . 89
6.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1.1 The Conductor of a Morphism of Modules .. . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1.2 The Base Change Conductor of a Semi-Abelian
Variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.1.3 Jumps and Edixhoven’s Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2 Computing the Base Change Conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2.1 Invariant Differential Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2.2 Elliptic Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2.3 Behaviour Under Non-Archimedean Uniformization .. . . . . 101
6.3 Jumps of Jacobians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.3.1 Dependence on Reduction Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7 The Base Change Conductor and the Artin Conductor . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.1 Some Comparison Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.1.1 Algebraic Tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.1.2 Saito’s Discriminant-Conductor Formula .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.2 Elliptic Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2.1 The Potential Degree of Degeneration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2.2 A Formula for the Base Change Conductor . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.3 Genus Two Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.3.1 Hyperelliptic Equations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.3.2 Minimal Equations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.3.3 Comparison of the Base Change Conductor
and the Minimal Discriminant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Part IV Applications to Motivic Zeta Functions
8 Motivic Zeta Functions of Semi-Abelian Varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.1 The Motivic Zeta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.1.2 Decomposing the Identity Component.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.2 Motivic Zeta Functions of Jacobians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.2.1 Behaviour of the Identity Component.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.2.2 Behaviour of the Order Function .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.3 Rationality and Poles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.3.1 Rationality of the Zeta Function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.3.2 Poles and Monodromy .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.3.3 Prym Varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
x Contents
9 Cohomological Interpretation of the Motivic Zeta
Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.1 The Trace Formula for Semi-Abelian Varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.1.1 The Rational Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.1.2 The Trace Formula and the Number of Néron
Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.1.3 Cohomological Interpretation of the Motivic
Zeta Function.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.2 The Trace Formula for Jacobians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.2.1 The Monodromy Zeta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.2.2 The Trace Formula for Jacobians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Part V Some Open Problems
10 Some Open Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.1 The Stabilization Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.2 The Characteristic Polynomial.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.3 The Motivic Zeta Function and the Monodromy Conjecture . . . . . . 145
10.4 Base Change Conductor for Jacobians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.5 Component Groups of Jacobians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
回复此楼

» 本帖附件资源列表

  • 欢迎监督和反馈：小木虫仅提供交流平台，不对该内容负责。
    本内容由用户自主发布，如果其内容涉及到知识产权问题，其责任在于用户本人，如对版权有异议，请联系邮箱：xiaomuchong@tal.com
  • 附件 1 : bok%3A978-3-319-26638-1.pdf
    • 2016-07-13 20:07:14, 1.73 M

» 收录本帖的淘帖专辑推荐

书籍下载网站 专业书籍（外文版）WM Allen的英文原版+百科 专业书籍之数学力学WM
Allen的数学

» 猜你喜欢
1楼 2016-07-13 20:07:24
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

hylpy

专家顾问 (知名作家)

★★★★★ 五星级,优秀推荐

顶个，感谢分享
回复此楼
3楼2016-07-14 08:53:04
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
简单回复
xmc1411182楼
2016-07-14 05:36   回复  
五星好评  顶一下，感谢分享！
askuyue4楼
2016-07-14 19:38   回复  
五星好评  顶一下，感谢分享！
ha16685楼
2016-07-14 21:12   回复  
五星好评  顶一下，感谢分享！
anmingkang6楼
2016-07-15 09:08   回复  
五星好评  顶一下，感谢分享！
phykid7楼
2016-07-15 09:53   回复  
五星好评  顶一下，感谢分享！
andizhai8楼
2016-07-15 22:03   回复  
五星好评  顶一下，感谢分享！
c2002z9楼
2016-07-18 17:26   回复  
五星好评  顶一下，感谢分享！
liqi_sywj10楼
2016-07-19 06:29   回复  
五星好评  顶一下，感谢分享！
wmnick11楼
2016-07-20 16:14   回复  
五星好评  顶一下，感谢分享！
fingerlake12楼
2016-07-20 16:18   回复  
五星好评  顶一下，感谢分享！
tjdht13楼
2016-07-21 09:52   回复  
五星好评  顶一下，感谢分享！
chemli9314楼
2016-07-21 21:20   回复  
五星好评  顶一下，感谢分享！
lantianbihb15楼
2016-10-11 00:38   回复  
五星好评  顶一下，感谢分享！
相关版块跳转 我要订阅楼主 maojun1998 的主题更新
151/1返回列表
☆ 无星级 ★ 一星级 ★★★ 三星级 ★★★★★ 五星级
普通表情 龙 兔 虎 猫 高级回复 (可上传附件)
最具人气热帖推荐 [查看全部] 作者 回/看 最后发表
[考研] 【考研调剂】化学专业 281分，一志愿四川大学，诚心求调剂 +6 吃吃吃才有意义 2026-03-19 6/300 2026-03-20 10:47 by 尽舜尧1
[考研] 材料专硕英一数二306 +6 z1z2z3879 2026-03-18 6/300 2026-03-20 08:49 by xingguangj
[考研] 0703化学调剂 ，六级已过，有科研经历 +12 曦熙兮 2026-03-15 12/600 2026-03-19 19:42 by maocaozhuxi
[考研] 085600材料与化工调剂 324分 +10 llllkkkhh 2026-03-18 12/600 2026-03-19 14:33 by llllkkkhh
[考研] 324分 085600材料化工求调剂 +3 llllkkkhh 2026-03-18 3/150 2026-03-19 14:22 by houyaoxu
[考研] 一志愿天大材料与化工（085600）总分338 +5 蔡大美女 2026-03-13 5/250 2026-03-19 10:44 by 是小刘呀～
[考研] 304求调剂 +6 司空. 2026-03-18 6/300 2026-03-18 23:03 by 星空星月
[考研] 328求调剂，英语六级551，有科研经历 +3 生物工程调剂 2026-03-17 7/350 2026-03-18 20:41 by Wangjingyue
[考研] 085601专硕，总分342求调剂，地区不限 +5 share_joy 2026-03-16 5/250 2026-03-18 14:48 by haxia
[考研] 302求调剂 +10 呼呼呼。。。。 2026-03-17 10/500 2026-03-18 12:45 by Linda Hu
[考研] 0703化学336分求调剂 +6 zbzihdhd 2026-03-15 7/350 2026-03-18 09:53 by zhukairuo
[考研] 326求调剂 +5 上岸的小葡 2026-03-15 6/300 2026-03-17 17:26 by ruiyingmiao
[考研] 275求调剂 +4 太阳花天天开心 2026-03-16 4/200 2026-03-17 10:53 by 功夫疯狂
[考研] 326求调剂 +4 诺贝尔化学奖觊� 2026-03-15 7/350 2026-03-16 17:11 by 诺贝尔化学奖觊�
[考研] 277材料科学与工程080500求调剂 +3 自由煎饼果子 2026-03-16 3/150 2026-03-16 14:10 by 运气yunqi
[考研] 0703 物理化学调剂 +3 我可以上岸的对� 2026-03-13 5/250 2026-03-16 10:50 by 我可以上岸的对�
[考研] 0856求调剂 +3 刘梦微 2026-03-15 3/150 2026-03-16 10:00 by houyaoxu
[考研] 中科大材料与化工319求调剂 +3 孟鑫材料 2026-03-14 3/150 2026-03-14 20:10 by ms629
[考研] 本科南京大学一志愿川大药学327 +3 麦田耕者 2026-03-14 3/150 2026-03-14 20:04 by 外星文明
[考研] 330求调剂 +3 ?酱给调剂跪了 2026-03-13 3/150 2026-03-14 10:13 by JourneyLucky
信息提示
关闭
请填处理意见
关闭