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maojun1998

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[资源] Lecture Notes in Mathematics 2156【Néron Models and Base Change】

Contents
Part I About This Book
1 Content of This Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Motivation and Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Abelian Varieties in Number Theory and Geometry . . . . . . . 9
2.1.2 Degenerating Families of Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3 Néron Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.4 Semi-Abelian Reduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.5 Behaviour Under Base Change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.6 Jacobians, Stable Curves and Semi-Abelian Reduction.. . . 13
2.1.7 Example: Elliptic Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.8 Motivic Zeta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Aim of This Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Semi-Abelian Varieties and Wildly Ramified Jacobians . . . 16
2.2.2 A Guiding Principle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.3 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1 Galois Theory of K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1 The Artin Conductor .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.2 Isolating the Wild Part of the Conductor.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Subtori of Algebraic Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.1 Maximal Subtori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2 Basic Properties of the Reductive Rank. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Néron Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.1 The Néron Model and the Component Group . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.2 The Toric Rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.3 Néron Models and Base Change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.4 Example: The Néron lft-Model of a Split
Algebraic Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
vii
viii Contents
3.3.5 The Néron Component Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.6 Semi-Abelian Reduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.7 Non-Archimedean Uniformization .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Models of Curves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.1 Sncd-Models and Combinatorial Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.2 A Theorem of Winters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4.3 Néron Models of Jacobians. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4.4 Semi-Stable Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Part II Néron Component Groups of Semi-Abelian Varieties
4 Models of Curves and the Néron Component Series
of a Jacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1 Sncd-Models and Tame Base Change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.1 Base Change and Normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.2 Local Computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.3 Minimal Desingularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 The Characteristic Polynomial and the Stabilization Index . . . . . . . . 43
4.2.1 The Characteristic Polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.2 The Stabilization Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.3 Applications to sncd-Models and Base Change . . . . . . . . . . . . 49
4.3 The Néron Component Series of a Jacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.1 Rationality of the Component Series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 Appendix: Locally Toric Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.1 Resolution of Locally Toric Singularities .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.2 Tame Cyclic Quotient Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Component Groups and Non-Archimedean
Uniformization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1 Component Groups of Smooth Sheaves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.1 The Work of Bosch and Xarles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.2 Identity Component and Component Group
of a Smooth Sheaf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.3 Some Basic Properties of the Component Group.. . . . . . . . . . 64
5.1.4 The Trace Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2 The Index of a Semi-Abelian K-Variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.1 Definition of the Index .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.2 Example: The Index of a K-Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3 Component Groups and Base Change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3.1 Uniformization of Semi-Abelian Varieties. . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3.2 Bounded Rigid Varieties and Torsors Under
Analytic Tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3.3 Behaviour of the Component Group Under
Base Change. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3.4 The Component Series of a Semi-Abelian Variety . . . . . . . . . 85
Part III Chai and Yu’s Base Change Conductor
and Edixhoven’s Filtration
6 The Base Change Conductor and Edixhoven’s Filtration . . . . . . . . . . . . . 89
6.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1.1 The Conductor of a Morphism of Modules .. . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1.2 The Base Change Conductor of a Semi-Abelian
Variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.1.3 Jumps and Edixhoven’s Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2 Computing the Base Change Conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2.1 Invariant Differential Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2.2 Elliptic Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2.3 Behaviour Under Non-Archimedean Uniformization .. . . . . 101
6.3 Jumps of Jacobians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.3.1 Dependence on Reduction Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7 The Base Change Conductor and the Artin Conductor . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.1 Some Comparison Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.1.1 Algebraic Tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.1.2 Saito’s Discriminant-Conductor Formula .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.2 Elliptic Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2.1 The Potential Degree of Degeneration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2.2 A Formula for the Base Change Conductor . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.3 Genus Two Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.3.1 Hyperelliptic Equations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.3.2 Minimal Equations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.3.3 Comparison of the Base Change Conductor
and the Minimal Discriminant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Part IV Applications to Motivic Zeta Functions
8 Motivic Zeta Functions of Semi-Abelian Varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.1 The Motivic Zeta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.1.2 Decomposing the Identity Component.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.2 Motivic Zeta Functions of Jacobians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.2.1 Behaviour of the Identity Component.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.2.2 Behaviour of the Order Function .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.3 Rationality and Poles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.3.1 Rationality of the Zeta Function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.3.2 Poles and Monodromy .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.3.3 Prym Varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
x Contents
9 Cohomological Interpretation of the Motivic Zeta
Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.1 The Trace Formula for Semi-Abelian Varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.1.1 The Rational Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.1.2 The Trace Formula and the Number of Néron
Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.1.3 Cohomological Interpretation of the Motivic
Zeta Function.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.2 The Trace Formula for Jacobians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.2.1 The Monodromy Zeta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.2.2 The Trace Formula for Jacobians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Part V Some Open Problems
10 Some Open Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.1 The Stabilization Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.2 The Characteristic Polynomial.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.3 The Motivic Zeta Function and the Monodromy Conjecture . . . . . . 145
10.4 Base Change Conductor for Jacobians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.5 Component Groups of Jacobians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

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