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maojun1998

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[求助] 一道高中解析几何题目。已有2人参与

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1楼 2016-07-08 10:34:50

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2楼: Originally posted by hank612 at 2016-07-08 12:42:55
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多谢hank612大神。

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3楼2016-07-08 16:14:41

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不好意思来顶一下，好久不会搞这个了，定理全都忘了。祝福祝福

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maojun1998

4楼2016-07-08 16:48:19

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4楼: Originally posted by seeker91 at 2016-07-08 16:48:19
不好意思来顶一下，好久不会搞这个了，定理全都忘了。祝福祝福

多多，可以好好回忆一下高中时代的数学…

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

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5楼2016-07-08 17:49:32

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引用回帖:

5楼: Originally posted by maojun1998 at 2016-07-08 17:49:32
多多，可以好好回忆一下高中时代的数学…
...

答案：C点坐标是 $(\frac{38}{21}, 0)$

(1) 已知的点是 $A=(-1,0),B=(\frac{1}{2},0),D=(2,0)$ . 设 $C=(x,0)$ . 对其它未知点用参数

通常椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的参数坐标为 $(a\cos{\theta},b\sin{\theta})$ , 但我个人喜欢继续用万能公式转换为 $(a\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2},b\cdot \frac{2t}{1+t^2})$ , 原因是有理分式，或者说多项式好打交道。

于是设 $P=(\frac{2(1-a^2)}{1+a^2},\frac{2a}{1+a^2}),Q=(\frac{2(1-b^2)}{1+b^2},\frac{2b}{1+b^2}),R=(\frac{2(1-c^2)}{1+c^2},\frac{2c}{1+c^2}),S=(\frac{2(1-d^2)}{1+d^2},\frac{2d}{1+d^2})$

(2)PAQ 三点共线推出 $\frac{\frac{2a}{1+a^2}}{\frac{2(1-a^2)}{1+a^2}+1}=\frac{\frac{2b}{1+b^2}}{\frac{2(1-b^2)}{1+b^2}+1}$ , 化简得 $a\cdot b=-3$ .

QBR 三点共线推出 $\frac{\frac{2b}{1+b^2}}{\frac{2(1-b^2)}{1+b^2}-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{2c}{1+c^2}}{\frac{2(1-c^2)}{1+c^2}-\frac{1}{2}}$ , 化简得 $b\cdot c=-\frac{3}{5}$ .

DP垂直于DS 推出 $\frac{\frac{2a}{1+a^2}}{\frac{2(1-a^2)}{1+a^2}-2}\cdot \frac{\frac{2d}{1+d^2}}{\frac{2(1-d^2)}{1+d^2}-2}=-1$ , 化简得 $a\cdot d=-\frac{1}{4}$ .

RCS 三点共线推出 $\frac{\frac{2c}{1+c^2}}{\frac{2(1-c^2)}{1+c^2}-x}=\frac{\frac{2d}{1+d^2}}{\frac{2(1-d^2)}{1+d^2}-x}$ , 化简得 $c\cdot d=-\frac{2-x}{2+x}$ .

(3)于是 $3\cdot \frac{2-x}{2+x}=\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{4}$ , 即 $x=\frac{38}{21}$ .

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6楼2016-07-08 22:42:56

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6楼: Originally posted by hank612 at 2016-07-08 22:42:56
答案：C点坐标是(\frac{38}{21}, 0)

(1) 已知的点是A=(-1,0),B=(\frac{1}{2},0),D=(2,0). 设C=(x,0). 对其它未知点用参数

通常椭圆\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1的参数坐标为(a\cos{\theta},b\sin{\the ...

这个证明很美，变量a，b，c，d运用传递性，得到正确答案。这种传递性恰好就是出这道题的基本思路，其实还可以做辅助线，P'D，可以简单证明
$K_{PD}K_{PD'}=m$ ，这个m和定点A的坐标有关，每个定点对应一条辅助线，然后从垂直得出 $K_{PD''}K_{PD'''}=c$ ,c为求得的定值，然后前面的引理可以得到C点坐标.

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7楼2016-07-11 18:02:52

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7楼: Originally posted by maojun1998 at 2016-07-11 18:02:52
这个证明很美，变量a，b，c，d运用传递性，得到正确答案。这种传递性恰好就是出这道题的基本思路，其实还可以做辅助线，P'D，可以简单证明
K_{PD}K_{PD'}=m，这个m和定点A的坐标有关，每个定点对应一条辅助线，然 ...

是K_{DP''}K_{DP'''}=C,上面打错了.

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8楼2016-07-11 18:05:30

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