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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求一积分证明
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Laswan

银虫 (小有名气)

[求助] 求一积分证明 已有3人参与

求蓝笔画出的积分证明

求一积分证明


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1楼 2016-06-25 13:56:26
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001gqs

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

先用f(x)=x^2（也可以用|x|，看个人喜好）,-pi<x<=pi，付里艾展开，得到
|x|=Sigma_{n>=1}cos(nx)a_n+1/2a_0,代入x=pi,得到\Sigma_{n>=1} 1/n^2=pi^2/6. （*）
（这个式子如果你熟知的话就可以跳过）
如再令g(x)=x^4,（也可以用|x^3|）,-pi<x<=pi,展开，代入x=pi，得到含有\Sigma_{n>=1} 1/n^2和\Sigma_{n>=1} 1/n^4的式子，把（*）代进去，得到
\Sigma_{n>=1} 1/n^4=pi^4/90.
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强悍的老民科
8楼2016-06-28 17:06:29
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001gqs

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
可以将分母写成级数，酌项求

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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强悍的老民科
2楼2016-06-25 14:22:51
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Laswan

银虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by 001gqs at 2016-06-25 14:22:51
可以将分母写成级数，酌项求

能具体写一下吗？谢谢！

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3楼2016-06-25 16:39:13
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
引用回帖:
2楼: Originally posted by 001gqs at 2016-06-25 14:22:51
可以将分母写成级数，酌项求

但最多分项积分叠加后成为SUM{6/(n+1)^4, n=1~infinite}。下面不知如何与pai^4/15拉上关系。
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4楼2016-06-25 18:46:40
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