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zax111zax

新虫 (小有名气)

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[求助] 求解答

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1楼 2016-02-13 16:47:46

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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
zax111zax: 金币+25, ★★★★★最佳答案, 好的非常感谢 2016-02-13 22:10:48

$z=f(r),r=\sqrt{x^2+y^2}$
求f(r)使之满足偏微分方程：

$\frac{\partial^2z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2z}{\partial y^2}-\frac{1}{x}\frac{\partial z}{\partial x}-z=x^2+y^2$

解：由题设条件可以得到：

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x}{r}f'(r)$

$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{r}f'(r)$

$\frac{\partial^2z}{\partial x^2}=\frac{y^2}{r^3}f'(r)+\frac{x^2}{r^2}f''(r)$

$\frac{\partial^2z}{\partial y^2}=\frac{x^2}{r^3}f'(r)+\frac{y^2}{r^2}f''(r)$

将上述关系代入所给偏微分方程化简就得到关于f(r)的二阶常系数非齐次常微分方程：

$f''(r)-f(r)=r^2$

利用特征根法解此常微分方程得到其通解为

$f(r)=C_1e^r+C_2e^{-r}-r^2-2$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2016-02-13 17:37:34

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罗luomin敏

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
zax111zax: 金币+5, ★有帮助 2016-03-14 22:11:35

楼上是正解，多想想

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3楼2016-03-14 22:10:24

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