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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求加速迭代的λ
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小石头ww

银虫 (初入文坛)

[求助] 求加速迭代的λ 已有2人参与

怎么求？

求加速迭代的λ
1.jpg
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静待未知。。
1楼 2016-01-25 14:47:29
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
小石头ww(Edstrayer代发): 金币+2 2016-01-26 15:29:06
由ψ'(x)=0推出λ=cos(x)
再代入迭代式可得:
x1 =

(1/2*cos(1/2)+1-sin(1/2))/(1+cos(1/2))
赞一下(1人) 回复此楼
善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
2楼2016-01-25 18:12:03
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nagami

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
小石头ww: 金币+4, ★有帮助 2016-01-26 18:16:36
1）假设存在解x*，在迭代格式l两边减去x*，得到绝对误差ε_k+1和ε_k的关系
x_k+1 = (lam / (1+lam) ) * x_k + psi(x_k)/(1+lam)
=>
ε_k+1 = (lam / (1+lam) ) * ε_k + (psi(x_k) - x*)/(1+lam)
把psi(x_k)在x*附近展开Taylor，psi(x_k)=psi(x*)+psi(x*)’ (x_k-x*)
注意到psi(x*)=x*
(psi(x_k) - x*)=psi(x*)*ε_k
整理得
ε_k+1/ε_k=（lam + psi(x*)’ ）/（1+lam）
虽然是线性收敛，但可以令其绝对值最小来得到近可能小的prefactor，起到加速的目的
所以最佳的lam是lam = -psi(x*)’

2）虽然最佳的值需要知道收敛点才行，不过有个好的近似解就足够了，
psi(x）=1-sin(x)，题目给出了初始x0=0.5，刚好x=pi/6与0.5接近，0.5是一个近似解，所以可取lam=cos（pi/6）
对题目的数据计算了一组数据，可与分析的结果比对
NUM        LAM=cos（pi/6）       LAM=0（未加速）
    1    0.511025820631418   0.520574461395797
    2    0.510973254453794   0.502621415553111
    3    0.510973429973883   0.518275602715637
    4    0.510973429386611   0.504617065199171
    5    0.510973429388576   0.516527729903438
    6    0.510973429388569   0.506136154042362
    7    0.510973429388569   0.515198539133488
    8    0.510973429388569   0.507292373509378
    9    0.510973429388569   0.514187605849655
   10    0.510973429388569   0.508172334135418
   11    0.510973429388569   0.513418652918452
   12    0.510973429388569   0.508842001077431
   13    0.510973429388569   0.512833717404165
   14    0.510973429388569   0.509351605145401
   15    0.510973429388569   0.512388738744310
   16    0.510973429388569   0.509739389267215
   17    0.510973429388569   0.512050216278189
   18    0.510973429388569   0.510034465372883
   19    0.510973429388569   0.511792673942155
   20    0.510973429388569   0.510258992040553
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女靠衣装；男靠金装
3楼2016-01-25 19:28:00
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nagami

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★
小石头ww(Edstrayer代发): 金币+1 2016-02-04 03:31:22
最有参数需要解，而解又依赖这个迭代，组合了下，发现效果也不减，相当好的题目，学习了，3qu
  NUM         LAM=-PSI(x_k)
    1    0.520574461395797
    2    0.510961222918322
    3    0.510973429369111
    4    0.510973429388569
    5    0.510973429388569
    6    0.510973429388569
    7    0.510973429388569
    8    0.510973429388569
    9    0.510973429388569
   10    0.510973429388569
   11    0.510973429388569
   12    0.510973429388569
   13    0.510973429388569
   14    0.510973429388569
   15    0.510973429388569
   16    0.510973429388569
   17    0.510973429388569
   18    0.510973429388569
   19    0.510973429388569
   20    0.510973429388569
求加速迭代的λ-1
11.png
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女靠衣装；男靠金装
4楼2016-01-25 19:47:28
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