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宝葫芦zzy

新虫 (初入文坛)

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第四题

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1楼 2015-12-22 16:34:56

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laosam280

禁虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
宝葫芦zzy(Edstrayer代发): 金币+8 2015-12-25 00:16:59
Edstrayer: 数学EPI+1 2016-01-02 00:30:07

首先，根据线性泛函表达式，有
|f(x)| = |\int^1_0 x(t)y(t) dt| <= max_{t\in[0,1]}{|x(t)|}*|\int^1_0 y(x) dt| = ||x||*|\int^1_0 y(x) dt| ,
另一方面，取x_0(t)=1, 则 ||x_0||=1, 此时
||f|| = sup_{||x||<=1} ||f(x)||/||x|| >= sup_{||x||=1} ||f(x)||/||x|| =sup_{||x_0||=1} ||f(x_0)||/||x_0||
= |\int^1_0 y(t) dt|
因此，||f|| = |\int^1_0 y(t) dt|

最后需要强调的是，算子的范数与其定义的空间密切相关。这里考虑的连续函数空间上的常见极大值范数。