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新手已上路木虫 (职业作家)
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里叶变换凭什么统治了大学的数学课程？已有13人参与
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从高中的时候学习导数概念开始，我们就知道有函数 特别神奇，或者说皮实经打耐用。它最耳熟能详的性质就是它不怕求导 变种也不怕，只要把指数的系数写前面上： 随便求导毫无鸭梨，这个函数简直生下来就是用来对付求导的，专注求导五百年。 基于这个简单的神奇性质，一个广阔的空间打开了。既然不怕求导，就一定能用来对付和求导密切相关的事情，比如高阶微分方程。还犹豫什么？ 让咱们开始今天的傅里叶和拉普拉斯激情大冒险吧！ 首先看傅里叶变换 为什么它适合解微分方程呢？不妨让我们看看如果的傅里叶变换是，那么的傅里叶变换是多少？ 根据分部积分，把的导数符号丢到上， 神奇的事情发生了，函数在处的值都为0，因为在的过程中，几乎不变而随着的增大而上下震荡，所以函数值也快速震荡，所以平均来说可以认为是。也就是说上面的公式边界值都为0，这一项可以丢掉。 （万门大学的刘赫男提出了更严谨的证明：因为 积分存在，所以积分内部的函数在的值必须为零，否则发散。感谢刘赫男的亲情帮助！） 而 的化简就体现到了神奇函数的性质，可以把指数上的系数拿下来直接拉下来变成 ，神奇函数立功一次！而积分号里面正是 。所以对于傅里叶变换而言， 的傅里叶变换只是的傅里叶变换乘以即可。那么的傅里叶变换呢？当然是再乘一次得到啦。 Oh my Ladygaga！傅里叶变换对付求导真是太方便了，导数本身是复杂的性质，但是在傅里叶变换下，直接变成了乘以系数这么简单。那么我们头疼的关于高阶微分方程，直接就变成了关于的一阶多项式方程。。。求解方程我不会，求解多项式我还能不会吗？ 让我们用同样的视角来审视一下拉普拉斯变换： 简直是看到了傅里叶变换失散多年亲兄弟啊有木有！！！ 注意看积分符号里面的和是不是一毛一样！！！我都看不出有任何的区别！！！（是的我眼睛瞎了），因为本质上都是神奇函数，再重复一次他的性质：专注求导五百年。所以横扫微分方程并不非不可能。 |
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