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1楼2015-11-02 22:34:24

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hank612

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【答案】应助回帖

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感谢参与，应助指数 +1
asimony(Edstrayer代发): 金币+20, rs 2015-11-04 16:57:58
asimony: 金币+30, ★★★★★最佳答案 2015-11-05 22:26:07

当|v|>1且 $|v^*|<\frac{1}{2}$ 时，有 $|v-v^*|>\frac{|v|}{2}$ , 从而
$\frac{|v-v^*|^\gamma}{(1+|v|^2)^{\frac{\gamma}{2}}}>\frac{2^{-\gamma}}{(|v|^{-2}+1)^{\frac{\gamma}{2}}}>2^{-\frac{3\gamma}{2}}$ ,

此时
$\int\frac{|v-v^*|^\gamma}{(1+|v|^2)^{\frac{\gamma}{2}}}e^{-|v^*|^2}dv^* >2^{-\frac{3\gamma}{2}}\int_{|v^*|<\frac{1}{2}}e^{-|v^*|^2}dv^*=C_1$ ;

当|v|<=1且 $|v^*|>2$ 时，有 $\frac{|v-v^*|^\gamma}{(1+|v|^2)^{\frac{\gamma}{2}}}>\frac{\frac{|v^*|}{2}}{2^{\frac{\gamma}{2}}}$ , 于是
$\int\frac{|v-v^*|^\gamma}{(1+|v|^2)^{\frac{\gamma}{2}}}e^{-|v^*|^2}dv^* >2^{-\frac{\gamma}{2}}\int_{|v^*|>2}e^{-|v^*|^2}dv^*=C_2$

同时注意到 $|v-v^*|^2<(1+|v|^2)(1+|v^*|^2)$ 恒成立, 知道
$\int\frac{|v-v^*|^{\gamma}}{(1+|v|^2)^{\frac{\gamma}{2}}}e^{-|v^*|^2}dv^*<\int(1+|v^*|^2)^{\frac{\gamma}{2}}e^{-|v^*|^2}dv^*=C_3$

从而 $\mbox{min}(C_1,C_2)(1+|v|^2)^{\frac{\gamma}{2}}<\int|v-v^*|^{\gamma}e^{-|v^*|^2}dv^* <C_3(1+|v|^2)^{\frac{\gamma}{2}}$

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We_must_know. We_will_know.

2楼2015-11-03 12:23:21

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匿名

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3楼2015-11-04 16:49:06

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引用回帖:

3楼: Originally posted by asimony at 2015-11-04 16:49:06
非常感谢，不过这里的常数C_1不能和gamma有关。还有就是你所分析的情况并不包含所有的情况吧。...

由于|v|要么大于1,要么小于等于1, 所以所有情况都覆盖到了.

如果 $0>\gamma>-3$ , 那么常数C_1什么的可以做到和 $\gamma$ 无关.

如果 $\gamma$ 可以大于0, 那么不妨取 |v|=1, 由于 $\lim\limits_{\gamma\rightarrow +\infty}\int_{5>|v^*|>4}(\frac{|v^*|-1}{2})^{\gamma} e^{-|v^*|^2}dv^*$ 就已经是无穷大了, 所以不会有上界C_3的.

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We_must_know. We_will_know.

4楼2015-11-05 02:35:57

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