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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 复合函数的矩阵求导
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pluiefox

新虫 (初入文坛)

[求助] 复合函数的矩阵求导 已有1人参与


问题如图。
我看过论坛里其他类似的对矩阵求导的讨论，我的问题是：

  1. 导数表示形式的分子布局、分母布局何时使用以及在同一个方程中能否混合使用，如果可以，什么样的情况下才需要选择特定的表示形式？
  2. 我在维基百科Matrix  calculus词条中看到这样一句话：
    引用回帖:
    The chain rule applies in some of the cases, but unfortunately does not apply in matrix-by-scalar derivatives or scalar-by-matrix derivatives (in the latter case, mostly involving the trace operator applied to matrices).

    这样的话，那么所给图片里红色式子左边部分的链式法则的应用就是错的。以图片中求为例，我应该如何对涉及矩阵的复合函数求导？


这个问题，是在求解神经网络的参数梯度的时候遇到的，为了简化问题我表述成了上述形式。
因为目标函数比较复杂，如果按矩阵元素推导会很麻烦，所以我直接对矩阵求导，但是我尝试写代码的时候才发现了这个无法相乘的问题。
我看到一些文章提到可以利用张量求列向量对矩阵的导数，但没有更进一步的解释了。
如果有描述模糊和不正确的地方，麻烦指正，我会及时修改。谢谢大家了！
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1楼 2015-11-02 20:17:37
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zaq123321

专家顾问 (著名写手)
What's the matrix norm in J

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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小木虫给我温暖，给我希望，爱就要爱小木虫。
2楼2015-11-04 00:09:04
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pluiefox

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by zaq123321 at 2015-11-04 00:09:04
What's the matrix norm in J

J 是 [p - [c1 ; c2]] 的二范数的平方再乘以二分之一，为了简化问题可以把 J 重新定义为：
J = ||p||，即 J 为 p 的一范数，系数全为1的p的分量的线性组合。
对于改过的式子，我按元素推导，先得到了{∂J / ∂Wij}，这个结果可以认为是正确的。接着我按矩阵向量推导（不考虑矩阵求导规则），结果是：
{∂J / ∂Wij} = ((J/p) * (p/q)） * (q/W)) = [1, 1, ... , 1] * V * [c1;c2]
其中 J/p 表示 J 对 p 求偏导，其余一样。
并且偏导数 J/p 和 p/q 用的分子布局，所以 J/p 是 2n 维行向量，p/q 是2n x n 矩阵，而 q/W 暂时不考虑正确性和布局形式直接用 [c1;c2] 表示。
然后由于维度不同不构成乘法项，我把上面结果改成：
((J/p) * (p/q))' * c'
'表示取转置。然后这样的结果就和我按元素推导的结果相同了。我想知道这样的做法对不对？因为虽然结果正确了，但是我在这里还是用了不适用的链式法则，而且还以满足乘法规则为目的对结果取转置，这种做法可能只是答案正确而且很偶然。
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3楼2015-11-04 09:45:10
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zaq123321

专家顾问 (著名写手)

【答案】应助回帖

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引用回帖:
3楼: Originally posted by pluiefox at 2015-11-04 09:45:10
J 是  的二范数的平方再乘以二分之一，为了简化问题可以把 J 重新定义为：
J = ||p||，即 J 为 p 的一范数，系数全为1的p的分量的线性组合。
对于改过的式子，我按元素推导，先得到了{∂J / ∂Wij}，这 ...

You can write out the squared vector norm as inner product   f=<a, a>=a^Ta.
Here a=(VW-I)(c_1, c_2).
Then df/dW = 2*<a, da/dW>  
You can find how to calculate da/dW from matrix calculus website and get answer.
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4楼2015-11-04 10:32:54
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