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关于一元多项式环K[x]的通用性质
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《高等代数》下册，第3版，作者丘维生 第7章、第7页-第8页 定理4 设k是一个数域，R是有单位元的交换环，R1是R的子环，并且K到R1有一个环同构映射τ“套”。 任意给定t∈R，令σt:K[x]→R f(x)=a0*x^0+a1*x^1+...+an*x^n l→ τ（a0）t^0+τ（a1）t^1+...+τ（an）t^n 按定义=f(t) 那么， σt是K[x]到R的映射；并且σt保持加法、乘法运算法则的话，即如果 f(x)+g(x)=h(x),f(x)g(x)=p(x), 则有 f(t)+g(t)=h(t),f(t)g(t)=p(t); 此外σt(x)=t。 我们把映射σt叫做x用t代入。 // 证明： 由于k[x]中每个元素f(x)的表达形式唯一（按照降幂排序），并且τ“套”是K到R1的映射，所以σt是k[x]到R的映射。 ——这是第一个疑问：不是给定σt:K[x]→R吗？那还证明它什么？另外也不明白这个推导过程的内在涵义。 根据σt的定义，得σt（x）=σt(1x)=τ（1）t=R(e)*t=t (说明R(e)是R的基本元) 设f(x)\g(x)分别以ai\bi为系数的一元多项式，次数为n/m，n大于等于m，则 h(x)=f(x)+g(x)，p(x)=f(x)g(x); 根据σt的定义，和环同构映射τ对加法、乘法的保持性，得 ——下面关于h(t)=f(t)+g(t),p(t)=f(t)g(t)的一些推导过程，不明白为何可以这样推导，每个步骤的等式表示什么含义？ 疑问2：子环R1仅对K保加保乘，为什么最后变成它的母环R对一元多项式环K[x]保加保乘？ 尽管这就是通用的性质想说明的事情，但这个过程不能理解，如果推导出来的。 望高手能解析其中的疑惑。 |
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