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baiduyangwen金虫 (小有名气)
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量子力学中的厄米共轭，及算符作用到波函数已有4人参与
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堇庐：钱先生，请问量子力学中的算符是不是只对波函数作用？我看曾谨言写的书里讲算符共轭时，他把算符作用到波函数的共轭复数上？ 钱伯初：对。错，错，他把概念弄错了，我跟他说过。在波函数的阶段，我们只定义了对波函数作用的算符，从来没有定义对波函数的共轭复数作用的算符。普遍的微分算符，那个可以，但不能作为量子力学的算符。量子力学只定义在波函数上定义的算符。这个概念除非要到狄拉克符号的阶段，就是左矢、右矢，那时候那个算符可以向左矢作用，也可以向右矢作用，不过那是另外一种概念。也就是说，在前面光讨论波函数的表达时，没有定义过对波函数的共轭复数Ψ*作用的算符。 堇庐：我查了一下，朗道的书中好像也是这么写的，定义共轭算符的时候，现讲算符的转置，再进行复共轭。 钱伯初：这个是过多的考虑了矩阵运算。矩阵运算推广到复数领域后，什么叫矩阵的共轭矩阵？就是把那个矩阵先转置再取共轭复数，曾谨言受了这个影响，也看过朗道的书，朗道书上也是这么讲的。我仔细推敲下来，就是说，光从薛定谔方程，光从波函数，我们只定义了对波函数作用的算符，没有定义过别的，所以他定义那个作用在Ψ*，不但是多余的，严格来说是概念错误，不能定义这样的算符，不是量子力学里面的算符。量子力学里面谈的算符，是线性算符，只对波函数作用，不能对波函数的共轭复数作用。这一点么，一层窗户纸，指出来了，去想想，就明白了。曾谨言怎么会搞出一个自找麻烦的错误，这是不可思议的。 |
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说一下我的理解： 所有波函数构成希尔伯特空间H，它实质上是一个复矢量空间。算符是这个空间自身的映射，也就是说算符F是将一个波函数v映射到另一个波函数u的一种运算。从这个层面来讲，没有共轭波函数和共轭算符这些定义。 一旦有了矢量空间和算符，就可以定义这个空间上的内积(v,Fu)＝∫v*Fudr，在这里顺便定义了波函数的共轭，因为在量子力学中，这个内积的运算牵扯到了v的共轭，可以把v*组成另一个集合H*，这也是一个矢量空间，并且与H相互对偶。至此，内积运算就是H×H*→复数集C的映射。 然后，量子力学的算符具有厄米性，也就是说(Fu,v)＝(u,Fv)，由这个性质才可以真正定义算符作用于波函数的共轭。 再后面，狄拉克符号把上面这些东西都改写一下，更加物理性，我们常说的右矢左矢，在数学里就是矢量和对偶矢量。 算符本质上是一种映射，并且是一种线性变换，所以算符也可用矩阵来表示（同构），这才出现了厄米共轭对于矩阵的操作。 发自小木虫IOS客户端 |
3楼2015-09-25 10:40:45
walk1997
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