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[资源] Banach空间和线性算子的历史(英文-Albrecht Pietsch) ,2007

Albrecht Pietsch
History of Banach Spaces and Linear Operators
(Banach空间和线性算子的历史)
2007
这是一本Banach空间和线性算子的历史著作。洋洋洒洒，共877页，绝对精彩。
Banach空间和线性算子的历史(英文-Albrecht Pietsch) ,2007

Contents
PREFACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv
NOTATION AND TERMINOLOGY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii
INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix
1 THE BIRTH OF BANACH SPACES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Complete normed linear spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Linear spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Minkowski spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Albert A. Bennett and Kenneth W. Lamson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Norbert Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Eduard Helly and Hans Hahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 HISTORICAL ROOTS AND BASIC RESULTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Functionals and dual operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 The moment problem and the Hahn–Banach theorem . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 The uniform boundedness principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 The closed graph theorem and the open mapping theorem . . . . . . . . . . 43
2.6 Riesz–Schauder theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6.1 Completely continuous operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6.2 Finite rank operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6.3 Approximable operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6.4 Compact operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6.5 Resolvents, spectra, and eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.6 Classical operator ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.7 Banach’s monograph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 TOPOLOGICAL CONCEPTS – WEAK TOPOLOGIES . . . . . . . . . . . 56
3.1 Weakly convergent sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2 Topological spaces and topological linear spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.1 Topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.2 Nets and filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.3 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.4 Topological linear spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.5 Locally bounded linear spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Locally convex linear spaces and duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.1 Locally convex linear spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.2 Weak topologies and dual systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.3 Separation of convex sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3.4 Topologies on L(X,Y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4 Weak∗ and weak compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4.1 Tychonoff’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4.2 Weak∗ compactness theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4.3 Weak compactness and reflexivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5 Weak sequential completeness and the Schur property . . . . . . . . . . . . . 81
3.6 Transfinitely closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4 CLASSICAL BANACH SPACES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.1 Banach lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2 Measures and integrals on abstract sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.1 Set-theoretic operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.2 Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.3 From measures to integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2.4 Integrals and the Banach spaces L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.5 Banach spaces of additive set functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 The duality between L1 and L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.4 The Banach spaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.5 Banach spaces of continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.6 Measures and integrals on topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.7 Measures versus integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.8 Abstract Lp- and M-spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.8.1 Boolean algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.8.2 Measure algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.8.3 Abstract Lp-spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.8.4 Abstract M-spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.8.5 The Dunford–Pettis property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Contents ix
4.9 Structure theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.9.1 Isomorphisms, injections, surjections, and projections . . . . . . . . . . . 129
4.9.2 Extensions and liftings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.9.3 Isometric and isomorphic classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.10 Operator ideals and operator algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.10.1 Schatten–von Neumann ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.10.2 Banach algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.10.3 B-algebras = C-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.10.4 W-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.11 Complexification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5 BASIC RESULTS FROM THE POST-BANACH PERIOD . . . . . . . . . 158
5.1 Analysis in Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.1.1 Convergence of series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.1.2 Integration of vector-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.1.3 Representation of operators from L1 into X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.1.4 The Radon–Nikodym property: analytic aspects . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.1.5 Representation of operators from Lp into X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.1.6 Representation of operators from C(K) into X . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.1.7 Vector-valued analytic functions on the complex plane . . . . . . . . . . . 176
5.1.8 Gˆateaux and Fr´echet derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.1.9 Polynomials and derivatives of higher order . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.1.10 Analytic functions on Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.2 Spectral theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.2.1 Operational calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.2.2 Fredholm operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.2.3 Riesz operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.2.4 Invariant subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.2.5 Spectral operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.3 Semi-groups of operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.3.1 Deterministic and stochastic processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.3.2 The Hille–Yosida theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.3.3 Analytic semi-groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.3.4 The abstract Cauchy problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.3.5 Ergodic theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.4 Convexity, extreme points, and related topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.4.1 The Kre˘ın–Milman theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.4.2 Integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.4.3 Gelfand–Na˘ımark–Segal representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.4.4 The Radon–Nikodym property: geometric aspects . . . . . . . . . . . . . . 227
5.4.5 Convex and concave functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.4.6 Lyapunov’s theorem and the bang-bang principle . . . . . . . . . . . . . . . 232
5.5 Geometry of the unit ball . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.5.1 Strict convexity and smoothness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.5.2 Uniform convexity and uniform smoothness . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.5.3 Further concepts related to convexity and smoothness . . . . . . . . . . . 239
5.5.4 Applications of convexity and smoothness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.5.5 Complex convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.6 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.6.1 Schauder bases and basic sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.6.2 Biorthogonal systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
5.6.3 Bases and structure theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.6.4 Bases in concrete Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
5.6.5 Unconditional basic sequences in Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . 261
5.6.6 Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
5.6.7 Schauder decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
5.7 Tensor products and approximation properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
5.7.1 Bilinear mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
5.7.2 Tensor products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
5.7.3 Nuclear and integral operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
5.7.4 Approximation properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
6 MODERN BANACH SPACE THEORY – SELECTED TOPICS . . . . 288
6.1 Geometry of Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
6.1.1 Banach–Mazur distance, projection, and basis constants . . . . . . . . . . 289
6.1.2 Dvoretzky’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
6.1.3 Finite representability, ultraproducts, and spreading models . . . . . . . 296
6.1.4 Lp-spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
6.1.5 Local unconditional structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
6.1.6 Banach spaces containing ln
p’s uniformly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
6.1.7 Rademacher type and cotype, Gauss type and cotype . . . . . . . . . . . . 307
6.1.8 Fourier type and cotype, Walsh type and cotype . . . . . . . . . . . . . . . . 315
6.1.9 Superreflexivity, Haar type and cotype . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
6.1.10 UMD spaces = HT spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
6.1.11 Volume ratios and Grothendieck numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
6.2 s-Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
6.2.1 s-Numbers of operators on Hilbert space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
6.2.2 Axiomatics of s-numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
6.2.3 Examples of s-numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
6.2.4 Entropy numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
6.2.5 s-Numbers of diagonal operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
6.2.6 s-Numbers versus widths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
6.3 Operator ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
6.3.1 Ideals on Hilbert space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
6.3.2 Basic concepts of ideal theory on Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . 341
6.3.3 Ideals associated with s-numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
6.3.4 Local theory of quasi-Banach ideals and trace duality . . . . . . . . . . . 348
6.3.5 p-Factorable operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
6.3.6 p-Summing operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
6.3.7 p-Nuclear and p-integral operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
6.3.8 Specific components of operator ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
6.3.9 Grothendieck’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
6.3.10 Limit order of operator ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
6.3.11 Banach ideals and tensor products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
6.3.12 Ideal norms computed with n vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
6.3.13 Operator ideals and classes of Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
6.3.14 Rademacher type and cotype, Gauss type and cotype . . . . . . . . . . . . 379
6.3.15 Fourier type and cotype, Walsh type and cotype . . . . . . . . . . . . . . . . 382
6.3.16 Super weakly compact operators, Haar type and cotype . . . . . . . . . . 383
6.3.17 UMD operators and HT operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
6.3.18 Radon–Nikodym property: operator-theoretic aspects . . . . . . . . . . . 387
6.3.19 Ideal norms and parameters of Minkowski spaces . . . . . . . . . . . . . . 387
6.3.20 Ideal norms of finite rank operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
6.3.21 Operator ideals and classes of locally convex linear spaces . . . . . . . . 391
6.4 Eigenvalue distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
6.4.1 Eigenvalue sequences and classical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
6.4.2 Inequalities between s-numbers and eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . 394
6.4.3 Eigenvalues of p-summing operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
6.4.4 Eigenvalues of nuclear operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
6.4.5 Operators of eigenvalue type lp,q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
6.5 Traces and determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
6.5.1 Traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
6.5.2 Fredholm denominators and determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
6.5.3 Regularized Fredholm denominators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
6.5.4 The Gohberg–Goldberg–Krupnik approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
6.5.5 Eigenvalues and zeros of entire functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
6.5.6 Completeness of root vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
6.5.7 Determinants: pros and cons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
6.6 Interpolation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
6.6.1 Classical convexity theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
6.6.2 Interpolation methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
6.6.3 Complex and real interpolation methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
6.6.4 Lorentz spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
6.6.5 Applications of interpolation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
6.6.6 Interpolation of operator ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
6.6.7 New trends in interpolation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
6.7 Function spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
6.7.1 H¨older–Lipschitz spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
6.7.2 Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
6.7.3 Besov spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
6.7.4 Lizorkin–Triebel spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
6.7.5 Interpolation of function spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
6.7.6 Spaces of smooth functions: supplements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
6.7.7 Bases of Besov spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
6.7.8 Embedding operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
6.7.9 Spaces of vector-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
6.7.10 Integral operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
6.7.11 Differential operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
6.7.12 Hardy spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
6.7.13 Bergman spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
6.7.14 Orlicz spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
6.8 Probability theory on Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
6.8.1 Baire, Borel, and Radon measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
6.8.2 Cylindrical measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
6.8.3 Characteristic functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
6.8.4 Radonifying operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
6.8.5 Gaussian measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
6.8.6 Wiener measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
6.8.7 Vector-valued random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
6.8.8 Rademacher series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
6.8.9 The law of large numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
6.8.10 The central limit theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
6.8.11 Vector-valued martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
6.9 Further topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
6.9.1 Topological properties of Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
6.9.2 Topological classification of Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
6.9.3 The analytic Radon–Nikodym property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
6.9.4 M-ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
6.9.5 Stable Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
6.9.6 Three space properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
6.9.7 Functors in categories of Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
6.9.8 Local spectral theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
6.9.9 Hankel and Toeplitz operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
6.9.10 Composition operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
6.9.11 Methods of summability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
6.9.12 Lacunarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
6.9.13 The linear group of a Banach space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
6.9.14 Manifolds modeled on Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
6.9.15 Asymptotic geometric analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
6.9.16 Operator spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
6.9.17 Omissions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
7 MISCELLANEOUS TOPICS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
7.1 Banach space theory as a part of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
7.2 Spaces versus operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
7.3 Modern techniques of Banach space theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
7.3.1 Probabilistic methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
7.3.2 Combinatorial methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
7.4 Counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
7.4.1 A selection of typical counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
7.4.2 Spaces without the approximation property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
7.4.3 Tsirelson’s space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
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7.4.5 The Gowers–Maurey story . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
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7.5 Banach spaces and axiomatic set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
8 MATHEMATICS IS MADE BY MATHEMATICIANS . . . . . . . . . . . . 589
8.1 Victims of politics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
8.2 Scientific schools in Banach space theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
8.2.1 Poland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
8.2.2 USA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596
8.2.3 The former Soviet Union, mainly Russia and Ukraine . . . . . . . . . . . 604
8.2.4 Israel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612
8.2.5 France . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614
8.2.6 United Kingdom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
8.2.7 Further countries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619
8.2.8 Germany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630
8.3 Short biographies of some famous mathematicians . . . . . . . . . . . . . . . . 635
8.3.1 Frigyes Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635
8.3.2 Eduard Helly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637
8.3.3 Stefan Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638
8.3.4 John von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640
8.3.5 Mark Grigorievich Kre˘ın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641
8.3.6 Alexandre Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642
8.3.7 Nicolas Bourbaki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
8.4 Banach space theory at the ICMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648
8.5 The Banach space archive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
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BIBLIOGRAPHY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
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maojun1998

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hylpy

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2楼: Originally posted by maojun1998 at 2015-09-09 22:58:20
好书

闭关了还出来玩啊
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maojun1998
3楼2015-09-09 23:27:52
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maojun1998

银虫 (正式写手)
送红花一朵
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3楼: Originally posted by hylpy at 2015-09-09 23:27:52
闭关了还出来玩啊

天天刷题目，好累，没事也来看看

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17楼2015-09-10 22:52:48
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咸花生

木虫 (正式写手)

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