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Edstrayer

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[交流] 关于级数求和的一道习题已有1人参与

试证：

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left(-1\right)^{n+1}\frac{n}{(n+1)(n+2)}=3\ln 2-2$

级数求和0002a.gif

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼 2015-09-03 03:29:08

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拉马之仆

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小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+5 2015-09-03 15:48:11

早！
因
$\ln 2=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ ，
故
$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\frac{n}{(n+1)(n+2)}=\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(\frac{2}{n+2}-\frac{1}{n+1})=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{n+2}+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n+1}=2(\ln 2-1+\frac{1}{2})+(\ln 2-1)=3\ln 2-2$ 。