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pkusiyuan

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[资源] A Wavelet Basis Theory Primer

ANHA Series Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
General Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xxiii
Part I A Primer on Functional Analysis
1 Banach Spaces and Operator Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Definition and Examples of Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 H¨older’s and Minkowski’s Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Basic Properties of Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Linear Combinations, Sequences, Series, and Complete Sets . . . 20
1.5 Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Orthogonal Sequences in Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.7 Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.8 Bounded Linear Functionals and the Dual Space . . . . . . . . . . . . . 50
2 Functional Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.1 The Hahn–Banach Theorem and Its Implications . . . . . . . . . . . . 57
2.2 Reflexivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3 Adjoints of Operators on Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4 Adjoints of Operators on Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.5 The Baire Category Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.6 The Uniform Boundedness Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.7 The Open Mapping Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.8 Topological Isomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.9 The Closed Graph Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.10 Weak Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
xii Contents
Part II Bases and Frames
3 Unconditional Convergence of Series in Banach and
Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.1 Convergence, Absolute Convergence, and Unconditional
Convergence of Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2 Convergence with Respect to the Directed Set of Finite
Subsets of N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3 Equivalent Characterizations of Unconditional Convergence . . . 94
3.4 Further Results on Unconditional Convergence . . . . . . . . . . . . . . 100
3.5 Unconditional Convergence of Series in Hilbert Spaces . . . . . . . . 104
3.6 The Dvoretzky–Rogers Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4 Bases in Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.1 Hamel Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3 Schauder Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.4 Equivalent Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.5 Schauder’s Basis for C[0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.6 The Trigonometric System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.7 Weak and Weak* Bases in Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5 Biorthogonality, Minimality, and More About Bases . . . . . . . 153
5.1 The Connection between Minimality and Biorthogonality . . . . . 153
5.2 Shades of Grey: Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.3 A Characterization of Schauder Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.4 A Characterization of Minimal Sequences and Schauder Bases . 165
5.5 The Haar System in Lp[0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.6 Duality for Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.7 Perturbations of Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6 Unconditional Bases in Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.1 Basic Properties and the Unconditional Basis Constant . . . . . . . 177
6.2 Characterizations of Unconditional Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.3 Conditionality of the Schauder System in C[0, 1] . . . . . . . . . . . . . 184
6.4 Conditionality of the Haar System in L1[0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7 Bessel Sequences and Bases in Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . 189
7.1 Bessel Sequences in Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.2 Unconditional Bases and Riesz Bases in Hilbert Spaces . . . . . . . 195
Contents xiii
8 Frames in Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.1 Definition and Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.2 Frame Expansions and the Frame Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8.3 Overcompleteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.4 Frames and Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.5 Characterizations of Frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.6 Convergence of Frame Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.7 Excess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Part III Bases and Frames in Applied Harmonic Analysis
9 The Fourier Transform on the Real Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.1 Summary: Main Properties of the Fourier Transform on the
Real Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
9.2 Motivation: The Trigonometric System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
9.3 The Fourier Transform on L1(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.4 The Fourier Transform on L2(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
9.5 Absolute Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
10 Sampling, Weighted Exponentials, and Translations . . . . . . . . 267
10.1 Bandlimited Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
10.2 The Sampling Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
10.3 Frames of Weighted Exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
10.4 Frames of Translates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
11 Gabor Bases and Frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
11.1 Time-Frequency Shifts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
11.2 Painless Nonorthogonal Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
11.3 The Nyquist Density and Necessary Conditions for Frame
Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
11.4 Wiener Amalgam Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
11.5 The Walnut Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
11.6 The Zak Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
11.7 Gabor Systems at the Critical Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
11.8 The Balian–Low Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
11.9 The HRT Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
12 Wavelet Bases and Frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
12.1 Some Basic Facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
12.2 Wavelet Frames and Wavelet Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
12.3 Frame Bounds and the Admissibility Condition . . . . . . . . . . . . . . 362
12.4 Multiresolution Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
12.5 All About the Scaling Function, I: Refinability . . . . . . . . . . . . . . . 378
12.6 All About the Scaling Function, II: Existence . . . . . . . . . . . . . . . . 393
xiv Contents
12.7 All About the Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
12.8 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
Part IV Fourier Series
13 Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
13.1 Notation and Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
13.2 Fourier Coefficients and Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
13.3 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
13.4 Approximate Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
13.5 Partial Sums and the Dirichlet Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
13.6 Ces`aro Summability and the Fej´er Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
13.7 The Inversion Formula for L1(T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
14 Basis Properties of Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
14.1 The Partial Sum Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
14.2 The Conjugate Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
14.3 Pointwise Almost Everywhere Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
Part V Appendices
A Lebesgue Measure and Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
A.1 Exterior Lebesgue Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
A.2 Lebesgue Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
A.3 Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
A.4 The Lebesgue Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
A.5 Lp Spaces and Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
A.6 Repeated Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
B Compact and Hilbert–Schmidt Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
B.1 Compact Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
B.2 Compact Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
B.3 Hilbert–Schmidt Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
B.4 Finite-Rank Operators and Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
B.5 The Hilbert–Schmidt Kernel Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
Hints for Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
Index of Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527

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附件 1 : A_Wavelet_Basis_Theory_Primer_-_Expanded_Edition_-_C._Heil_-_Birkhauser_-_2011.pdf

2015-08-29 14:17:02, 4.21 M