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hylpy

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[求助] 求极限题已有2人参与

设 $a_n (n=1,2,3,.....)$ 是实数列。 $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$ 在 $n \to \infty$ 时，极限存在。
求证:
1、 $\lim_{n \to \infty }\frac{a_n}{n}=0$ ；
2、 $\lim_{n \to \infty }\frac{max|a_i|}{n}=0$ ， $\left ( 1\leq i\leqslant n \right )$ 。

(日本考研题)

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1楼 2015-06-14 23:22:31

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【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
hylpy: 金币+1, ★有帮助, 辛苦了 2015-06-16 08:28:14

建议参见：高等数学中的若干问题解析（第二版）舒阳春编著
科学出版社 P12-14
虽然不是同样的题目，但是解法类似希望有帮助

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2楼2015-06-15 00:19:05

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ljjsx137

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★
感谢参与，应助指数 +1
hylpy: 金币+1, ★有帮助, 辛苦了 2015-06-16 08:28:38

本帖内容被屏蔽

3楼2015-06-16 01:22:32

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3楼: Originally posted by ljjsx137 at 2015-06-16 01:22:32
我就不在这写解答过程了。请参看原题：（1）《数学分析题解精粹》钱吉林 34页 65题。（2）《数学分析习题演练》第一册 25页例2.1.1的（1）。想必你应该有这两本书吧！所以我就不用在此多言了。

楼上两位好，书别人也会看。抄题在此的本意是大家一起讨论。题本来就是从书上来的，你们列的书，学分析的人也都知道。你们都没有实实在在的解题过程，所以只给你们每人一分的奖励。

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4楼2015-06-16 08:27:40

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hank612

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hylpy(feixiaolin代发): 金币+4 2015-06-29 22:37:29

引用回帖:

4楼: Originally posted by hylpy at 2015-06-16 08:27:40
楼上两位好，书别人也会看。抄题在此的本意是大家一起讨论。题本来就是从书上来的，你们列的书，学分析的人也都知道。你们都没有实实在在的解题过程，所以只给你们每人一分的奖励。...

$\frac{a_n}{n}=\left(\frac{a_1+\dots +a_n}{n}-\frac{a_1+\dots +a_{n-1}}{n-1}\right)+\frac{1}{n}\cdot \frac{a_1+\dots +a_{n-1}}{n-1}$ 明显趋于0。

于是 $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{|a_n|}{n}=0$ . 设|a1|,...,|an|最大值在|am|处取到。由于
$\frac{\max{|a_i|}}{n}=\frac{|a_m|}{m}\cdot \frac{m}{n}$ . 这时如果m趋于无穷，比值自然趋于零；如果m有个与n无关的上界M，那么|a1|,.., |aM|中的最大值也不过是个常数， n趋于无穷时比值自然趋于零。

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We_must_know. We_will_know.

5楼2015-06-16 13:20:41

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同意楼上hank612的解答，上半题相对容易些，下半题思路认可，论叙不够严密。

因你没有采用应答方式回复，我没有办法给你分，提请版主给你加分，谢谢

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6楼2015-06-16 19:42:11

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hylpy(feixiaolin代发): 金币+4 2015-06-29 22:37:15

引用回帖:

6楼: Originally posted by hylpy at 2015-06-16 19:42:11
同意楼上hank612的解答，上半题相对容易些，下半题思路认可，论叙不够严密。

因你没有采用应答方式回复，我没有办法给你分，提请版主给你加分，谢谢

谢谢hylpy 的提醒,现在把论述说得更加靠谱些.

考虑limit_{n->Infinity} {m: 1<=m<=n,且|a_m|为|a_1|,...,|a_n|中最大值}.
显然这个极限要么为无穷大,要么为有限数M.

如果这个极限为无穷大, 那么 $\frac{\max{|a_i|}}{n}\leq \frac{|a_m|}{m}$ 趋于0;

如果这个极限为有限数M, 那么 $\frac{\max{|a_i|}}{n}\leq \frac{|a_M|}{n}$ 趋于0;

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7楼2015-06-17 01:40:28

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谢谢金币
因不熟悉传公式或图片因此未给予完整解题过程。请见谅！

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8楼2015-06-19 10:44:42

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