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Stochastic Partial Differential Equations(英文版－Pardoux－复旦大学)
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随机偏微分方程 Stochastic Partial Differential Equations Lectures given in Fudan University, Shangha¨ı, April 2007 ´E. Pardoux Marseille, France Contents 1 Introduction and Motivation 5 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Population dynamics, population genetics . . . . . . . 7 1.2.3 Neurophysiology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4 Evolution of the curve of interest rate . . . . . . . . . . 8 1.2.5 Non Linear Filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.6 Movement by mean curvature in random environment . 9 1.2.7 Hydrodynamic limit of particle systems . . . . . . . . . 10 1.2.8 Fluctuations of an interface on a wall . . . . . . . . . . 11 2 SPDEs as infinite dimensional SDEs 13 2.1 Itˆo calculus in Hilbert space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 SPDE with additive noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1 The semi–group approach to linear parabolic PDEs . . 17 2.2.2 The variational approach to linear and nonlinear parabolic PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Variational approach to SPDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.1 Monotone – coercive SPDEs . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.3 Coercive SPDEs with compactness . . . . . . . . . . . 37 2.4 Semilinear SPDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3 SPDEs driven by space–time white noise 49 3.1 Restriction to one–dimensional space variable . . . . . . . . . 49 3.2 A general existence–uniqueness result . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3 More general existence and uniqueness result . . . . . . . . . . 59 3.4 Positivity of the solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5 Applications of Malliavin calculus to SPDEs . . . . . . . . . . 60 3.6 SPDEs and the super Brownian motion . . . . . . . . . . . . . 66 3.6.1 The case = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.6.2 Other values of < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.7 SPDEs with singular drift, and reflected SPDEs . . . . . . . . 79 3.7.1 Reflected SPDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.7.2 SPDE with critical singular drift . . . . . . . . . . . . 82 |
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