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pkusiyuan

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[资源] Arodz and Hadasz 2010经典场论与量子场论讲座

Contents
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Example A: Sinus-Gordon Effective Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Example B: The Electromagnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Solutions of the Klein–Gordon Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 The Euler–Lagrange Equations and Noether’s Theorem . . . . . . . . . . . 19
2.1 The Euler–Lagrange Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Noether’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Scalar Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1 The Lorentz and Poincaré Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 The Real Scalar Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 The Complex Scalar Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1 The Abelian Gauge Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 Non-Abelian Gauge Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3 The Higgs Mechanism and a Massive Vector Field . . . . . . . . . . . . . . 80
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5 Relativistic Spinor Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1 The Dirac Equation, Spin(4) and SL(2,C) Groups . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 The Dirac Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3 The Weyl Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4 The Majorana Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6 The Quantum Theory of Free Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.1 The Real Scalar Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
vii
viii Contents
6.2 The Dirac Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.3 The Electromagnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7 Perturbative Expansion in the φ44
Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.1 The Gell-Mann–Low Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.2 The Generating Functional for Green’s Functions: Wick Formula . . 161
7.3 Feynman Diagrams in Momentum Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8 Renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.1 Ultraviolet Divergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.2 The Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.3 BPHZ Subtractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.4 Renormalization of the 2-Point Green’s Function . . . . . . . . . . . . . . . 198
8.5 The Multiplicative Renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9 Renormalization Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9.1 Renormalization Group Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9.2 The Running Coupling Constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
9.3 Dimensional Transmutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10 Relativistic Invariance and the Spectral Decomposition of G(2) . . . . . . 227
10.1 Relativistic Invariance in QFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
10.2 The Spectral Decomposition of G(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
10.3 The Contribution of the Single Particle Sector . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
10.4 The Pole of the Perturbative G˜ (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
11 Paths Integrals in QFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
11.1 Path Integrals in Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
11.2 Path Integrals for Bosonic Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
11.3 Path Integral for Fermionic Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
12 The Perturbative Expansion for Non-Abelian Gauge Fields . . . . . . . . . 277
12.1 The Faddeev–Popov–DeWitt Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
12.2 The Generating Functional for Green’s Functions . . . . . . . . . . . . . . . 282
12.3 Feynman Diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
12.4 BRST Invariance and Slavnov–Taylor Identities . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Contents ix
13 The Simplest Supersymmetric Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
13.1 Simple Superalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
13.2 Supersymmetry Multiplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
13.3 Representation of Supersymmetry in a Space of Fields . . . . . . . . . . 299
13.4 The Superspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
13.5 The Wess–Zumino Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
13.6 Notation and Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
14 Anomalies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
14.1 Simple Example of Anomaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
14.2 Anomalies and the Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Appendix A Some Facts About Generalized Functions . . . . . . . . . . . . . . 343
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

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