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pkusiyuan

银虫 (正式写手)

[资源] Computational Physics Simulation Of Classical And Quantum Systems

Part I Numerical Methods
1 Error Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Machine Numbers and Rounding Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Numerical Errors of Elementary Floating Point Operations . . . . . . 6
1.2.1 Numerical Extinction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Error Propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Stability of Iterative Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Example: Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Truncation Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Interpolating Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Polynomial Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Lagrange Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Newton’s Divided Differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.3 Interpolation Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.4 Neville Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Spline Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Multivariate Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Numerical Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 Simple Forward Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Symmetrical Difference Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Extrapolation Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4 Higher Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 More Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
ix
x Contents
4 Numerical Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1 Equidistant Sample Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1.1 Newton–Cotes Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.1.2 Newton–Cotes Expressions for an Open Interval . . . . . . 39
4.1.3 Composite Newton–Cotes Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.4 Extrapolation Method (Romberg Integration) . . . . . . . . . 40
4.2 Optimized Sample Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.1 Clenshaw–Curtis Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.2 Gaussian Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Systems of Inhomogeneous Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1 Gaussian Elimination Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.1 Pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.1.2 Direct LU Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 QR Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3 Linear Equations with Tridiagonal Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.4 Cyclic Tridiagonal Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.5 Iterative Solution of Inhomogeneous Linear Equations. . . . . . . . . . 56
5.5.1 General Treatment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.5.2 Jacobi Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.5.3 Gauss–Seidel Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.5.4 Damping and Successive Over-Relaxation . . . . . . . . . . . 58
5.6 Conjugate Gradients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6 Roots and Extremal Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.1 Root Finding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.1.1 Bisection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.1.2 Regula Falsi Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.1.3 Newton–Raphson Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.1.4 Secant Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.1.5 Roots of Vector Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2 Optimization Without Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2.1 Steepest Descent Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2.2 Conjugate Gradient Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2.3 Newton–Raphson Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2.4 Quasi-Newton Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7 Fourier Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.1 Discrete Fourier Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.1.1 Trigonometric Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.1.2 Real-Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Contents xi
7.1.3 Approximate Continuous Fourier Transformation . . . . . 77
7.2 Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2.1 Goertzel’s Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.2.2 Fast Fourier Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8 Random Numbers and Monte Carlo Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1 Some Basic Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1.1 Probability Density and Cumulative Probability
Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1.2 Expectation Values and Moments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.1.3 Multivariate Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.1.4 Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.1.5 Example: Binomial Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.1.6 Average of Repeated Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.2 Random Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2.1 The Method by Marsaglia and Zamann . . . . . . . . . . . . . . 96
8.2.2 Random Numbers with Given Distribution . . . . . . . . . . . 96
8.2.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.3 Monte Carlo Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.3.1 Numerical Calculation of π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.3.2 Calculation of an Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.3.3 More General Random Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.4 Monte Carlo Method for Thermodynamic Averages . . . . . . . . . . . . 102
8.4.1 Simple (Minded) Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.4.2 Importance Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.4.3 Metropolis Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9 Eigenvalue Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.1 Direct Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.2 Jacobi Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.3 Tridiagonal Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.4 Reduction to a Tridiagonal Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.5 Large Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10 Data Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
10.1 Least Square Fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
10.1.1 Linear Least Square Fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10.1.2 Least Square Fit Using Orthogonalization. . . . . . . . . . . . 120
10.2 Singular Value Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
xii Contents
11 Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.1 State Vector of a Physical System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.2 Time Evolution of the State Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
11.3 Explicit Forward Euler Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
11.4 Implicit Backward Euler Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
11.5 Improved Euler Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
11.6 Taylor Series Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
11.7 Runge–Kutta Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
11.7.1 Second-Order Runge–Kutta Method . . . . . . . . . . . . . . . . 138
11.7.2 Third-Order Runge–Kutta Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
11.7.3 Fourth-Order Runge–Kutta Method . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.8 Quality Control and Adaptive Step-Size Control . . . . . . . . . . . . . . . 140
11.9 Extrapolation Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
11.10 Multistep Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
11.10.1 Explicit Multistep Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
11.10.2 Implicit Multistep Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
11.10.3 Predictor–Corrector Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
11.11 Verlet Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
11.11.1 Liouville Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
11.11.2 Split Operator Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
11.11.3 Position Verlet Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
11.11.4 Velocity Verlet Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
11.11.5 Standard Verlet Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
11.11.6 Error Accumulation for the Standard Verlet Method . . . 149
11.11.7 Leap Frog Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Part II Simulation of Classical and Quantum Systems
12 Rotational Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
12.1 Transformation to a Body Fixed Coordinate System . . . . . . . . . . . . 157
12.2 Properties of the Rotation Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
12.3 Properties of W, Connection with the Vector of Angular Velocity . 160
12.4 Transformation Properties of the Angular Velocity . . . . . . . . . . . . . 161
12.5 Momentum and Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
12.6 Equations of Motion of a Rigid Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
12.7 Moments of Inertia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
12.8 Equations of Motion for a Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
12.9 Explicit Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
12.10 Loss of Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
12.11 Implicit Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
12.12 Example: Free Symmetric Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12.13 Kinetic Energy of a Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
12.14 Parametrization by Euler Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Contents xiii
12.15 Cayley–Klein parameters, Quaternions, Euler Parameters . . . . . . . 172
12.16 Solving the Equations of Motion with Quaternions . . . . . . . . . . . . . 176
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
13 Simulation of Thermodynamic Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
13.1 Force Fields for Molecular Dynamics Simulations . . . . . . . . . . . . . 179
13.1.1 Intramolecular Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
13.1.2 Intermolecular Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
13.1.3 Approximate Separation of Rotation and Vibrations . . . 180
13.2 Simulation of a van der Waals System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
13.2.1 Integration of the Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . 181
13.2.2 Boundary Conditions and Average Pressure . . . . . . . . . . 182
13.2.3 Initial Conditions and Average Temperature . . . . . . . . . . 183
13.2.4 Analysis of the Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
13.3 Monte Carlo Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
13.3.1 One-Dimensional Ising Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
13.3.2 Two-Dimensional Ising Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
14 Random Walk and Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
14.1 Random Walk in One Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
14.1.1 Random Walk with Constant Step Size . . . . . . . . . . . . . . 195
14.2 The Freely Jointed Chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
14.2.1 Basic Statistic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
14.2.2 Gyration Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
14.2.3 Hookean Spring Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
14.3 Langevin Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
15 Electrostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
15.1 Poisson Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
15.1.1 Homogeneous Dielectric Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
15.1.2 Charged Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
15.1.3 Variable ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
15.1.4 Discontinuous ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
15.1.5 Solvation Energy of a Charged Sphere . . . . . . . . . . . . . . 211
15.1.6 The Shifted Grid Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
15.2 Poisson Boltzmann Equation for an Electrolyte . . . . . . . . . . . . . . . . 215
15.2.1 Discretization of the Linearized Poisson–Boltzmann
Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
15.3 Boundary Element Method for the Poisson Equation . . . . . . . . . . . 216
15.3.1 Integral Equations for the Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
15.3.2 Calculation of the Boundary Potential . . . . . . . . . . . . . . . 219
xiv Contents
15.4 Boundary Element Method for the Linearized Poisson–
Boltzmann Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
15.5 Electrostatic Interaction Energy (Onsager Model) . . . . . . . . . . . . . . 223
15.5.1 Example: Point Charge in a Spherical Cavity . . . . . . . . . 225
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
16 Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
16.1 One-Dimensional Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
16.2 Discretization of the Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
16.3 Boundary Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
16.4 The Wave Equation as an Eigenvalue Problem . . . . . . . . . . . . . . . . 233
16.4.1 Eigenfunction Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
16.4.2 Application to the Discrete One-Dimensional
Wave Equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
16.5 Numerical Integration of the Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
16.5.1 Simple Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
16.5.2 Stability Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
16.5.3 Alternative Algorithm with Explicit Velocities . . . . . . . . 240
16.5.4 Stability Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
17 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
17.1 Basic Physics of Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
17.2 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
17.3 Numerical Integration of the Diffusion Equation . . . . . . . . . . . . . . . 245
17.3.1 Forward Euler or Explicit Richardson Method . . . . . . . . 245
17.3.2 Stability Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
17.3.3 Implicit Backward Euler Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
17.3.4 Crank–Nicolson Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
17.3.5 Error Order Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
17.3.6 Practical Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
17.3.7 Split Operator Method for d > 1 Dimensions . . . . . . . . 250
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
18 Nonlinear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
18.1 Iterated Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
18.1.1 Fixed Points and Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
18.1.2 The Ljapunow Exponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
18.1.3 The Logistic Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
18.1.4 Fixed Points of the Logistic Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
18.1.5 Bifurcation Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
18.2 Population Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
18.2.1 Equilibria and Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
18.2.2 The Continuous Logistic Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Contents xv
18.3 Lotka–Volterra model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
18.3.1 Stability Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
18.4 Functional Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
18.4.1 Holling–Tanner Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
18.5 Reaction–Diffusion Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
18.5.1 General Properties of Reaction–Diffusion Systems . . . . 269
18.5.2 Chemical Reactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
18.5.3 Diffusive Population Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
18.5.4 Stability Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
18.5.5 Lotka–Volterra Model with Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . 272
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
19 Simple Quantum Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
19.1 Quantum Particle in a Potential Well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
19.2 Expansion in a Finite Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
19.3 Time-Independent Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
19.3.1 Simple Two-Level System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
19.3.2 Three-State Model (Superexchange) . . . . . . . . . . . . . . . . 286
19.3.3 Ladder Model for Exponential Decay . . . . . . . . . . . . . . . 290
19.4 Time-Dependent Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
19.4.1 Landau–Zener Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
19.4.2 Two-State System with Time-Dependent Perturbation . 293
19.5 Description of a Two-State System with the Density Matrix
Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
19.5.1 Density Matrix Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
19.5.2 Analogy to Nuclear MagneticResonance. . . . . . . . . . . . . 300
19.5.3 Relaxation Processes—Bloch Equations . . . . . . . . . . . . . 302
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Appendix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
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