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sciencejoy

新虫 (著名写手)

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[交流] 夫琅禾费单缝衍射已有1人参与

本文图显示不出来，可点此链接：https://www.zybuluo.com/joyphys/note/80547

研究宽度为 $b$ 的无限长单缝产生的夫琅禾费衍射图样。假设一列平面波垂直入射到单缝上，现在需要计算透镜焦平面上的屏上的强度分布。缝可以看做是由大量等间距的点光源组成，并且认为，缝上每一点都是一个惠更斯子波源，它们发出的子波互相干涉。设点光源 $A_1$ ， $A_2$ ， $A_3$ ， $\ldots$ ，并设相邻点光源的间隔为 $\Delta$ ，如下图所示。

如果点光源的数目为 $n$ ，则
$b=(n-1)\Delta$

现在需要计算 $n$ 个点光源在点的总叠加场。点 $P$ 是透镜焦平面上任意一点，此点所能接收的平行光与狭缝法线的夹角为 $\theta$ 。实际上缝是由连续分不到点光源组成，所以在最后的结果表达式中，将是 $n$ 趋于无穷大， $\Delta$ 趋于零，并保持$n\Delta$趋于 $b$ 。

点 $A_1$ ， $A_2$ ， $A_3$ ， $\ldots$ 到点 $P$ 的距离比缝宽 $b$ 是很大的，所以，从这些点达到点 $P$ 的振动的振幅几乎完全相等。但是，虽然它们到点 $P$ 的距离只有微小的差别，但是相位差不可忽略。

对于垂直入射的平面波，在点 $A_1$ ， $A_2$ ， $A_3$ ， $\ldots$ 是同相位的。点 $A_2$ 发出的波与点 $A_1$ 发出的波的光程差为 $\overline{A_2A_2'}$
$\overline{A_2A_2'}=\Delta \sin \theta$
相应的相位差
$\phi=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta \sin \theta$
同理，相邻点发出的相位差也是 $\phi$ 。如果点 $A_1$ 发出的波在点 $P$ 产生的场 $E_0\cos \omega t$ ，因此，各点在点 $P$ 产生的合振动为
$E=E_0\{\cos \omega t+\cos (\omega t-\phi)+\ldots+\cos [\omega t-(n-1)\phi)]\}$
如下图可计算点$P$处的合振动

计算结果为
$E=\frac{E_0\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\sin\frac{\phi}{2}}\cos[\omega t -(n-1)\phi/2]$

也可以用复数法得到上述结果。
$\widetilde{E}=E_0e^{i\omega t}[1+e^{-i\phi}+\ldots+e^{-i(n-1)\phi}]=E_0e^{i\omega t}\frac{1-e^{-i n \phi}}{1-e^{-i \phi}}$
$=E_0\frac{e^{i n \phi/2}-e^{-i n \phi/2}}{e^{i \phi/2}-e^{-i \phi/2}}\frac{e^{-i n \phi/2}}{e^{-i \phi/2}}e^{i\omega t}$
$=E_0\frac{\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\sin\frac{\phi}{2}}e^{\left \{i\left [\omega t-(n-1)\frac{\phi}{2}\right ] \right \}}$

点 $P$ 处，合振幅
$E_P=E_0\frac{\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\sin\frac{\phi}{2}}\approx E_0\frac{\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\frac{\phi}{2}}=(n-1)E_0\frac{\sin\frac{(n-1)\phi}{2}}{\frac{(n-1)\phi}{2}}$
在 $n\rightarrow \infty[latex]和[latex](n-1)\Delta\rightarrow b$ 情况下，
$\frac{(n-1)\phi}{2}=\pi (n-1)\Delta\sin \theta /\lambda \rightarrow \pi b\sin \theta /\lambda$
令 $\beta=\pi b\sin \theta /\lambda$ ，因此有点 $P$ 处的振动为

$E=(n-1)E_0\frac{\sin \beta}{\beta}\cos(\omega t - \beta)$
光强
$I=I_0\frac{\sin^2 \beta}{\beta^2}$
其中， $I_0$为$\theta=0$ 处的光强。

极小值的位置由下述关系给出
$\beta=k\pi$
即
$b\sin \theta =k\lambda, k=\pm 1,\pm 2,\ldots$

极大值由以下超越方程的根给出
$\tan \beta=\beta$

夫琅禾费单缝衍射强度分布和极大值点见下图