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pkusiyuan

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[资源] Springer2012Scale.Invariance.From.Phase.Transitions.to.Turbulence

Contents
1 Changes of States of Matter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Symmetry-Breaking Changes of State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Bifurcations and Divergences
at the Liquid –Vapour Critical Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Critical Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Superfluid Helium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 The Ideal GasModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 Magnetism and the IsingModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.3 A Minimal Phase Transition Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.4 Van derWaals Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.5 Weiss Magnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.6 Universality of the “Mean Field” Approach . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.7 2D IsingModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 Universality of Critical Behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5.1 Extremely Precise Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5.2 Inadequacy of Models and Universality
of Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6 Limits of theMean Field Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.1 Landau–Ginzburg Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.2 Spatial Variation of the Order Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Fractal Geometry .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1 Fractal Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.1 Fractal Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.2 Fractal Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.3 Self-Similarity (or Scale Invariance)
of Fractal Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
ix
x Contents
2.2 Fractal Structures in the NaturalWorld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.1 Statistical and Limiting Properties of Fractals . . . . . . . . . . . . 48
2.2.2 The Origin of Fractal Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3 Universality as a Consequence of Scale Invariance .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.1 Zoom Out and Decimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Scaling Relations, Invariance and the Scaling
Hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.1 A Unifying Concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.2 Widom Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.3 Divergence of and the Scaling Hypothesis . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.4 Scaling Relations Revisited with Decimation . . . . . . . . . . . . 67
3.3 Transitions andModel Hamiltonians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3.1 Number of Components of the Order
Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3.2 The Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3.3 The IsingModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4 1D and 2D Solutions of the IsingModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4.1 TransferMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4.2 Properties of the 1D IsingModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.3 Properties of the 2D IsingModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.5 Renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5.1 Brief History of the Concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5.2 Renormalisation Steps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5.3 Renormalisation Flow in a Space ofModels . . . . . . . . . . . . . 80
3.5.4 Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.6 Phase Transitions Described by Renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.6.1 Examples of Renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.6.2 Development in " D 4 d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.6.3 In a 1D Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.6.4 And in a 2D Space? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.6.5 XY Model in 2D: The Kosterlitz–Thouless
Transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.7 And in Real Situations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.7.1 Crossover from One Universality Class
to Another . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.7.2 Establishment of Equilibrium and Dynamic
Critical Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.7.3 Spinodal Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.7.4 Transitions and Scale Invariance in a Finite
Size System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.8 Conclusion: The Correct Usage of a Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Contents xi
4 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.1 Diffusion:WhatWe Observe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.1.1 Thermal Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.1.2 BrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.1.3 Self-Similarity of the Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.1.4 Diffusion Fronts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.1.5 Diffusion: ExceptionalMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2 The Diffusion Equation and its Variants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.2.1 Fick’s Law and Diffusion Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.2.2 Scale Invariance of the Diffusion Equation . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2.3 Diffusion in a PorousMedium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.3 Stochastic Descriptions of Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3.1 Ideal Random Walk and Normal Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3.2 MathematicalModelling: TheWiener Process . . . . . . . . . . . 131
4.4 From One Scale to the Next . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.4.1 How the Different Descriptions Are Related . . . . . . . . . . . . . 134
4.4.2 Einstein Formula and the Fluctuation-
Dissipation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.4.3 Irreversibility of Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.5 Anomalous Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.5.1 Possible Origins of Anomalies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.5.2 L´evy Flights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.5.3 Fractal BrownianMotions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.5.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.5.5 Spectral Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.6 Driven Diffusion and Processes Far from Equilibrium . . . . . . . . . . . . 157
4.6.1 A Typical One DimensionalModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.6.2 Density Profile and Phase Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.6.3 Large Deviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.6.4 Crucial Difference from Equilibrium Systems . . . . . . . . . . . 161
4.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5 The Percolation Transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.1.1 An Initial Mean Field Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.1.2 A Path Through the Network: The Infinite
Cluster, ItsMass and Branches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.1.3 Lifetime of a Forest Fire as a Measure
of the Percolation Threshold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.1.4 Site Percolation and Bond Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.1.5 Correlated, Driven and Stirred Percolations . . . . . . . . . . . . . . 173
5.2 Statistics of Clusters and the Ferromagnetic–
Paramagnetic Transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.2.1 Correlations, Characteristic Lengths
and Coherence Length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
xii Contents
5.2.2 Analogy with Phase Transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.2.3 Hypothesis of the Dominant Cluster
and Scaling Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.2.4 Bethe’s Mean Field Calculation on Cayley’s
Tree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.3 Renormalisation of PercolationModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.3.1 Examples of Renormalisation in Two
Dimensional Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.3.2 Scaling Approach on a System of Finite Size . . . . . . . . . . . . 182
5.3.3 Finite Size Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.4 Structure of the Infinite Cluster at the Percolation
Threshold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.4.1 Fractal Dimension of the Infinite Cluster . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.5 Dynamic Properties Near a Percolation Transition . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.5.1 Conductivity, Diffusion and Walking Ants . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.5.2 Diffusion and Conduction in Percolating
Clusters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6 Spatial Conformation of Polymers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.1.1 Remarkable Scaling Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.1.2 Persistence Length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.2 Conformations of an Isolated Flexible Polymer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.2.1 Polymers and RandomWalks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.2.2 Self-Avoiding RandomWalks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6.2.3 The Role of Solvent: The Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.2.4 Scaling Laws for a Polyelectrolyte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.3 Theoretical Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.3.1 Flory Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.3.2 Good and Bad Solvents, Point
and Flory–Huggins Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.3.3 Renormalisation Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.4 Polymer Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.4.1 PolymerMelts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.4.2 Semidilute Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
7 High Temperature Superconductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7.1 Superconductivity and Superconductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7.1.1 Mechanisms and Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7.1.2 Families of Superconducting Compounds . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.1.3 Applications: From Telecommunications
toMagnetoencephalography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Contents xiii
7.2 The Phase Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
7.2.1 Doping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
7.2.2 The Thermal Transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
7.3 Quantum Transitions in Superconductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.3.1 Superconductor–insulator Transition
with Respect to Film Thickness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
7.3.2 Doping Transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
7.4 An Open Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
8 Growth and Roughness of Interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
8.1.1 Discrete Models, Continuous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
8.1.2 Characteristic Exponents of Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
8.1.3 Correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
8.1.4 Model of Random Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
8.2 Linear Approach Including Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
8.2.1 Symmetry Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
8.2.2 The Edwards–Wilkinson Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
8.3 The Kardar–Parisi–Zhang Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
8.3.1 Construction of the KPZ Equation by Physical
Arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
8.3.2 KPZ Exponents from Scaling Arguments . . . . . . . . . . . . . . . . 272
8.4 Dynamic Renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
8.4.1 Renormalisation Flow Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
8.4.2 KPZ Regimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
8.5 Molecular Beam Epitaxy (MBE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
8.5.1 LinearMBE Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
8.5.2 NonlinearMBE Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
8.6 Roughening Transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
8.6.1 Continuous Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
8.6.2 Renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.6.3 Nonequilibrium Roughening Transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
8.7 Universality Classes of Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
9 Dynamical Systems, Chaos and Turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
9.1 A Different View of the Dynamics of a System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
9.1.1 A “Geometry” of Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
9.1.2 Bifurcations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
9.1.3 Analogy with Phase Transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
9.1.4 Normal Forms and Structural Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
9.2 Deterministic Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
9.2.1 A Few Remarkable Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
9.2.2 Statistical Description and Ergodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
9.2.3 The Basic Ingredients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
xiv Contents
9.2.4 Transition to Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
9.2.5 Range and Limits of the Concept of Chaos . . . . . . . . . . . . . . . 323
9.3 Chaos as the Foundation of Statistical Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
9.3.1 Boltzmann’s Ergodic Hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
9.3.2 Chaotic Hypothesis and Nonequilibrium
Statistical Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
9.3.3 Chaos and Transport Phenomena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
9.4 Intermittency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
9.4.1 Intermittency After a Saddle-Node Bifurcation . . . . . . . . . . 329
9.4.2 On-Off Intermittency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
9.5 Fully Developed Turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
9.5.1 Scale Invariance of Hydrodynamic Equations . . . . . . . . . . . . 334
9.5.2 Turbulence Threshold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
9.5.3 A Qualitative Picture: Richardson’s Cascade . . . . . . . . . . . . . 336
9.5.4 Empirical Scaling Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
9.5.5 Kolmogorov’s Theory (1941) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
9.5.6 Multifractal Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
9.5.7 An Open Field Today . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
10 Self-Organised Criticality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
10.1 A New Concept: Self-Organised Criticality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
10.1.1 Sandpile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
10.1.2 Forest Fires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
10.1.3 The Basic Ingredients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
10.1.4 In Practice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
10.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
10.2.1 Diffusion Fronts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
10.2.2 Traffic Flow and Traffic Jams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
10.2.3 Earthquakes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
10.2.4 Inflation of the Lungs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
10.2.5 Ecosystems and Evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
10.2.6 Other Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
10.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
10.3.1 Towards an Explanatory Picture: Feedback
Loops and Marginal Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
10.3.2 Success and Reservations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
11 Scale Invariance in Biology .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
11.2 Universality in the Metabolism of Living Systems . . . . . . . . . . . . . . . . 362
11.2.1 Observation of Allometric Scaling Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
11.2.2 Proposed Explanations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
11.2.3 Objections to the Reliability of the Scaling
Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
Contents xv
11.2.4 Other Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
11.3 Long Range Correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
11.3.1 Coding and Non Coding DNA Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . 370
11.3.2 Heart Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
11.3.3 Electroencephalography (EEG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
11.4 Biological Networks: Complex Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
11.4.1 A New Statistical Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
11.4.2 Real Networks: Random Graphs? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
11.4.3 Scale-Free Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
11.4.4 In Practice: Reconstruction of a Complex
Network . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
11.4.5 Avenues to Explore the Multiscale Structure
of Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
11.5 Conclusion: A Multiscale Approach for Living
Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
12 Power and Limits of Scaling Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
12.1 Criticality and Scaling Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
12.2 Experimental Determination of Scaling Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
12.3 Renormalisation and Status ofModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
12.4 Open Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

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