24小时热门版块排行榜

返回列表

【奖励】本帖被评价12次，作者pkusiyuan增加金币 9.2 个

pkusiyuan

银虫 (正式写手)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 15204.9
帖子: 773
在线: 130小时
虫号: 3451204

[资源] Special Functions for Applied Scientists

1 Basic Ideas of Special Functions and Statistical Distributions . . . . . . . . 1
1.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Some basic properties of gamma functions . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Wedge product and Jacobians of transformations . . . . . . . . 6
1.1.3 Multiplication formula for gamma functions . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4 Asymptotic formula for a gamma function . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.5 Bernoulli polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.6 Some basic properties of generalized Bernoulli
polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.7 The first three generalized Bernoulli polynomials . . . . . . . . 10
Exercises 1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 The Psi and Zeta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Generalized zeta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Exercises 1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Integral Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Mellin transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Laplace transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Exercises 1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Some Statistical Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Exercises 1.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 Some Properties of Random Variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5.1 Multivariate analogues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5.2 Marginal and conditional densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Exercises 1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.6 Beta and Related Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6.1 Dirichlet integrals and Dirichlet densities . . . . . . . . . . . . . . 37
Exercises 1.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.7 Hypergeometric Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.7.1 Evaluation of some contour integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.7.2 Residues when several gammas are involved . . . . . . . . . . . . 46
Exercises 1.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
xvii
xviii Contents
1.8 Meijer’s G-function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Exercises 1.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.9 The H-function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Exercises 1.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.10 Lauricella Functions and Appell’s Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.10.1 Some properties of fA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.10.2 Some properties of fB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.10.3 Some properties of fC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.10.4 Some properties of fD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Exercises 1.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.11 Special Functions as Solutions of Differential Equations
and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.11.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.11.1 Sine, cosine and exponential functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Exercises 1.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.11.2 Linear second order differential equations . . . . . . . . . . . . . . 66
1.11.3 Hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Exercises 1.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.11.4 Confluent hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Exercises 1.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.11.5 Hermite polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Exercises 1.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.11.6 Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Exercises 1.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.11.7 Laguerre polynomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.11.8 Legendre polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Exercises 1.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.11.9 Generalized hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.11.10 G-function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Exercises 1.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2 Mittag-Leffler Functions and Fractional Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.1 Mittag-Leffler Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Revision Exercises 2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.2 Basic Properties of Mittag-Leffler Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.2.1 Mittag-Leffler functions of rational order . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.2.2 Euler transform of Mittag-Leffler function . . . . . . . . . . . . . . 84
2.2.3 Laplace transform of Mittag-Leffler function . . . . . . . . . . . 85
2.2.4 Application of Lalace transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.2.5 Mittag-Leffler functions and the H-function . . . . . . . . . . . . 88
Exercises 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.3 Generalized Mittag-Leffler Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.3.1 Special cases of Eδ
β ,γ (z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Contents xix
2.3.2 Mellin-Barnes integral representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.3.3 Relations with the H-function and Wright function . . . . . . 92
2.3.4 Cases of reducibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.3.5 Differentiation of generalized Mittag-Leffler function . . . . 94
2.3.6 Integral property of generalized Mittag-Leffler function . . 94
2.3.7 Integral transform of Eδ
β ,γ (z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Exercises 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.4 Fractional Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.4.1 Riemann-Liouville fractional integrals of arbitrary order . . 98
2.4.2 Riemann-Liouville fractional integrals of order α . . . . . . . 99
2.4.3 Basic properties of fractional integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.4.4 A useful integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.4.5 TheWeyl integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.4.6 Basic properties of Weyl integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Exercises 2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.4.7 Laplace transform of the fractional integral . . . . . . . . . . . . . 107
2.4.8 Laplace transform of the fractional derivative . . . . . . . . . . . 107
2.4.9 Laplace transform of Caputo derivative . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Exercises 2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.5 Mellin Transform of the Fractional Integrals
and the Fractional Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.5.1 Mellin transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.5.2 Mellin transform of the fractional integral . . . . . . . . . . . . . . 110
2.5.3 Mellin transform of the fractional derivative . . . . . . . . . . . . 111
Exercises 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.6 Kober Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Exercises 2.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.7 Generalized Kober Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Exercises 2.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.8 Compositions of Riemann-Liouville Fractional Calculus
Operators and Generalized Mittag-Leffler Functions . . . . . . . . . . . . . 121
2.8.1 Composition relations between R-L operators
and Eδ
β ,γ (z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Exercises 2.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.9 Fractional Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.9.1 Fractional relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Exercises 2.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.9.2 Fractional diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Exercises 2.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3 An Introduction to q-Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.1 Hypergeometric Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Exercises 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
xx Contents
3.2 Basic Hypergeometric Series (q-Series) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Exercises 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.2.1 The q-binomial theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Exercises 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.2.2 The q-binomial coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Exercises 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.3 q-Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Exercises 3.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.4 The q-Gamma and q-Beta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.5 Transformation and Summation Formulas for q-Series . . . . . . . . . . . 152
Exercises 3.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.6 Jacobi’s Triple Product and Rogers-Ramanujan Identities . . . . . . . . 154
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4 Ramanujan’s Theories of Theta and Elliptic Functions. . . . . . . . . . . . . . 159
4.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.1 Ramanujan’s Theory of Classical Theta Functions . . . . . . . . . . . . . . 159
4.1.1 Series definition and additive results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.2 Ramanujan’s 1ψ1 Summation Formula and Multiplicative Results
for Theta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.3 Modular Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.4 Inversion Formulas and Evaluations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.5 Modular Identities (Classical Theory) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.6 Ramanujan’s Theory of Cubic Theta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.6.1 The cubic theta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.6.2 Inversion formulas and evaluations (cubic theory) . . . . . . . 179
4.6.3 Triplication and trimediation formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.6.4 Further evaluations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.6.5 Evaluations of Ramanujan-Eisenstein series (L, M, N or
P, Q, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.6.6 The cubic analogue of the Jacobian elliptic functions . . . . . 186
Test on Ramanujan’s work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.7 The One-variable Cubic Theta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.7.1 Cubic theta functions and some properties . . . . . . . . . . . . . . 189
4.7.2 Product representations for b(q) and c(q) . . . . . . . . . . . . . . 190
4.7.3 The cubic analogue of Jacobi’s quartic modular equations 191
4.8 The Two-variable Cubic Theta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4.8.1 Series definitions and some properties . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4.8.2 Product representations for b(q, z) and c(q, z) . . . . . . . . . . . 195
4.8.3 A two-variable cubic counterpart of Jacobi’s quartic
modular equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.9 The Three-variable Cubic Theta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.9.1 Unification of one and two-variable cubic theta functions . 200
Exercises 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.9.2 Generalization of Hirschhorn-Garvan-Borwein identity . . . 202
Contents xxi
4.9.3 Laurent’s expansions for two-parameter cubic theta
functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5 Lie Group and Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.1 General Introduction to Group Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.1.1 Isomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.1.2 Symmetry groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.1.3 Isometries of the Euclidean plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.1.4 Finite groups of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.1.5 Discrete groups of motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.2 Lie Group and Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.2.1 Subspace of a vector space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.3 Lie Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.4 Representations of Lie Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Exercises 5.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
5.5 Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.5.1 Gauss hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.5.2 Differential equation satisfied by 2F1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.5.3 Integral representation of pFq

α1,α2, ...,αp
β1,β2, ...,βq
; z

. . . . . . . . . . . 230
5.6 Laguerre Polynomial L(α)
n (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.6.1 Laguerre polynomial and Lie algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Exercises 5.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5.7 Helmholtz Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5.7.1 Helmholtz equation in three variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.8 Lie Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
5.8.1 Basis of the Lie algebra of the Lie group SL(2) . . . . . . . . . 242
Exercises 5.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Test on Lie Theory and Special Functions . . . . . . . . . . . . . . 244
6 Applications to Stochastic Process and Time Series . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.1 Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.1.1 Classical types of stochastic processes . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.1.2 Processes with stationary independent increments . . . . . . . 252
6.1.3 Stationary processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
6.1.4 Gaussian processes and stationarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
6.1.5 Brownian processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.1.6 Markov chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
Exercises 6.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.2 Modern Concepts in Distribution Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
6.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
6.2.2 Geometric infinite divisibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
6.2.3 Bernstein functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
6.2.4 Self-decomposability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
xxii Contents
6.2.5 Stable distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.2.6 Geometrically strictly stable distributions . . . . . . . . . . . . . . 266
6.2.7 Mittag-Leffler distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.2.8 α–Laplace distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.2.9 Semi–Pareto distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Exercises 6.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
6.3 Stationary Time Series Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
6.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
6.3.2 Autoregressive models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
6.3.3 A general solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
6.3.4 Extension to a k-th order autoregressive model . . . . . . . . . . 272
6.3.5 Mittag-Leffler autoregressive structure . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Exercises 6.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6.4 A Structural Relationship and New Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
6.4.1 The TMLAR(1) process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
6.4.2 The NEAR(1) model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6.4.3 New Mittag-Leffler autoregressive models . . . . . . . . . . . . . 278
6.4.4 The NSMLAR(1) process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Exercises 6.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6.5 Tailed Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6.5.1 The exponential tailed autoregressive process [ETAR(1)] . 282
6.5.2 The Mittag-Leffler tailed autoregressive process
[MLTAR(1)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Exercises 6.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
6.6 Marshall-Olkin Weibull Time Series Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
6.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
6.6.2 Marshall-Olkin semi-Weibull distribution . . . . . . . . . . . . . . 287
6.6.3 An AR (1) model with MOSW marginal distribution . . . . . 289
6.6.4 Marshall-Olkin generalized Weibull distribution . . . . . . . . . 291
6.6.5 An AR (1) model with MOGW marginal distribution . . . . 292
6.6.6 Case study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Exercises 6.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
7 Applications to Density Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
7.0 Density Estimation and Orthogonal Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 297
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
7.2 Approximants Based on Legendre Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
7.3 Approximants Based on Laguerre Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
7.4 A Unified Methodology. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
7.5 Approximants Expressed in Terms of Orthogonal Polynomials . . . . 305
7.5.1 Approximants expressed in terms of Laguerre
polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
7.5.2 Approximants expressed in terms of Legendre
polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
Contents xxiii
7.5.3 Approximants expressed in terms of Jacobi polynomials . . 307
7.5.4 Approximants expressed in terms of Hermite
polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
8 Applications to Order Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
8.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
8.1 Distribution Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
8.1.1 Density of the r-th order statistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
8.1.2 Joint distribution function of two order statistics . . . . . . . . . 314
8.1.3 Joint density of two order statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
8.1.4 Moments of order statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
8.1.5 Recurrence relations for moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
8.1.6 Recurrence relations on the product moments . . . . . . . . . . . 318
8.1.7 Order statistics from symmetric distributions . . . . . . . . . . . 319
8.2 Discrete Order Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
8.2.1 Probability function of discrete order statistics . . . . . . . . . . 320
8.2.2 Joint probability function of two order statistics . . . . . . . . . 321
8.2.3 Bernoulli order statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
8.3 Independent Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
8.3.1 Distribution of a single order statistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
8.3.2 Joint distribution of two order statistics . . . . . . . . . . . . . . . . 324
Test on Order Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
8.4 On Concomitants of Order Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
8.4.1 Application of concomitants of order statistics . . . . . . . . . . 326
8.4.2 Application in estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
8.4.3 Concomitants of record values and estimation problems . . 333
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
9 Applications to Astrophysics Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
9.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
9.1 Entropy: Boltzmann, Planck, and Einstein onW . . . . . . . . . . . . . . . . 342
9.1.1 Entropic functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
9.1.2 Entropy and probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
9.1.3 Boltzmann-Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
9.2 Gravitationally Stabilized Fusion Reactor: The Sun . . . . . . . . . . . . . 345
9.2.1 Internal solar structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
9.2.2 Solar fusion plasma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
9.2.3 Estimation of central temperature in the Sun . . . . . . . . . . . . 349
9.3 Crucial Astrophysical Experiments: Data Analysis . . . . . . . . . . . . . . 351
9.3.1 The experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
9.3.2 Analysis of the time series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
9.4 Fundamental Equations for Nonequilibrium Processes . . . . . . . . . . . 355
9.4.1 Chapman-Kolmogorov equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
9.4.2 Master equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
xxiv Contents
9.4.3 Fokker-Planck equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
9.4.4 Langevin equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
9.4.5 Reaction-diffusion equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
9.5 Fractional Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
9.6 Nonextensive Statistical Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
9.7 Standard and Fractional Reaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
9.7.1 Boltzmann-Gibbs statistical mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . 363
9.7.2 Generalized Boltzmann-Gibbs statistical mechanics. . . . . . 366
9.7.3 Fractional reaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
9.7.4 Thermonuclear reaction coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
9.8 Standard and Fractional Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
9.8.1 Fick’s first law of diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
9.8.2 Einstein’s approach to diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
9.8.3 Fractional diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
9.8.4 Spatio-temporal pattern formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
10 An Introduction toWavelet Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
10.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
10.1 Fourier Analysis toWavelet Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
10.2 Construction of Orthonormal Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
10.3 Classification of Wavelets and Multiresolution Analysis . . . . . . . . . . 400
10.4 SplineWavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
10.5 A Variant of Construction of Orthonormal Wavelets . . . . . . . . . . . . . 407
Exercises 10.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
11 Jacobians of Matrix Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
11.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
11.1 Jacobians of Linear Matrix Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
Exercises 11.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
11.2 Jacobians in Some Nonlinear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
Exercises 11.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
11.3 Transformations Involving Orthonormal Matrices . . . . . . . . . . . . . . . 423
Exercises 11.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
12 Special Functions of Matrix Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
12.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
12.1 Real Matrix-Variate Scalar Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
12.1.1 Real matrix-variate gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
12.1.2 Real matrix-variate gamma density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
Exercises 12.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
12.2 The Laplace Transform in the Matrix Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
12.2.1 A convolution property for Laplace transforms . . . . . . . . . . 436
Contents xxv
Exercises 12.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
12.3 Hypergeometric Functions with Matrix Argument . . . . . . . . . . . . . . . 439
12.3.1 Hypergeometric function through Laplace transform . . . . . 440
12.3.2 Hypergeometric function through zonal polynomials . . . . . 441
12.3.3 Hypergeometric functions through M-transforms . . . . . . . . 443
12.3.4 A convolution theorem for M-transforms . . . . . . . . . . . . . . . 445
Exercises 12.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
12.4 A Pathway Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
12.4.1 The pathway density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
12.4.2 A general density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
12.4.3 Arbitrary moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
12.4.4 Quadratic forms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
12.4.5 Generalized quadratic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
12.4.6 Applications to random volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
Exercises 12.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
Author Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
Subject Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

回复此楼

» 本帖附件资源列表

欢迎监督和反馈：小木虫仅提供交流平台，不对该内容负责。
本内容由用户自主发布，如果其内容涉及到知识产权问题，其责任在于用户本人，如对版权有异议，请联系邮箱：xiaomuchong@tal.com
附件 1 : Special_Functions_for_Applied_Scientists(A.M._Mathai_Hans_J._Haubold)_2008.pdf

2015-03-12 12:05:23, 2.12 M