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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 请问有理数集的测度是多少？
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ZGPWJ

金虫 (初入文坛)

[求助] 请问有理数集的测度是多少？ 已有1人参与

如题

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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1楼 2015-03-06 10:10:26
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
在勒贝格测度下，全体有理数构成的集合，其测度为0
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2楼2015-03-06 10:23:38
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

具体过程如下
因为有理数是可数的，不妨设R上的全体有理数为
Q=(x1,x2,x3,....}
记 集合Ai={xi}
则有
1）Q=A1UA2UA3U...
2) m(Ai)=0
3) A1,A2,A3,...互不相容
所以由测度的可列可加性有
m(Q)=m(A1)+m(A2)+...=0
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3楼2015-03-06 10:26:32
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