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pkusiyuan银虫 (正式写手)
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Springer2010年The Art of Proof Basic Training for Deeper Mathematics
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Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii Notes for the Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv Notes for Instructors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii Part I: The Discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1 Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 First Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Philosophical Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Natural Numbers and Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 Natural Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Ordering the Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 The Well-Ordering Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 Some Points of Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1 Quantifiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Negations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 Philosophical Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 Recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2 Finite Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.3 Fishing in a Finite Pool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.4 The Binomial Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.5 A Second Form of Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.6 More Recursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 xi xii Contents 5 Underlying Notions in Set Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.1 Subsets and Set Equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2 Intersections and Unions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.3 Cartesian Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.4 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6 Equivalence Relations and Modular Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.1 Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.2 The Division Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.3 The Integers Modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.4 Prime Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 7 Arithmetic in Base Ten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7.1 Base-Ten Representation of Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 7.2 The Addition Algorithm for Two Nonnegative Numbers (Base 10) . 69 Part II: The Continuous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 8 Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8.1 Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 8.2 Positive Real Numbers and Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.3 Similarities and Differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 8.4 Upper Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 9 Embedding Z in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 9.1 Injections and Surjections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 9.2 The Relationship between Z and R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 9.3 Apples and Oranges Are All Just Fruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 10 Limits and Other Consequences of Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 10.1 The Integers Are Unbounded . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 10.2 Absolute Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 10.3 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 10.4 Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 10.5 Square Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 11 Rational and Irrational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 11.1 Rational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 11.2 Irrational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 11.3 Quadratic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 12 Decimal Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 12.1 Infinite Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 12.2 Decimals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 13 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Contents xiii 13.1 Injections, Surjections, and Bijections Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 13.2 Some Countable Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 13.3 Some Uncountable Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 13.4 An Infinite Hierarchy of Infinities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 13.5 Nondescribable Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 14 Final Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 A Continuity and Uniform Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 A.1 Continuity at a Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 A.2 Continuity on a Subset of R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 A.3 Uniform Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 B Public-Key Cryptography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 B.1 Repeated Squaring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 B.2 Diffie–Hellman Key Exchange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 C Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 C.1 Definition and Algebraic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 C.2 Geometric Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 D Groups and Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 D.1 Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 D.2 Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 D.3 Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 D.4 Finitely Generated Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 D.5 Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 D.6 Cayley Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 D.7 G as a Group of Symmetries of G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 D.8 Lie Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 E Generating Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 E.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 E.2 Multiplication and Reciprocals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 E.3 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 F Cardinal Number and Ordinal Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 F.1 The Cantor–Schr¨oder–Bernstein Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 F.2 Ordinal Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 G Remarks on Euclidean Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 List of Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 |
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2015-02-27 17:48:20, 1.94 M
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