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heianzlx银虫 (初入文坛)
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BFGS、牛顿法、最速下降法的收敛性问题 已有1人参与
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| 对于一个非线性无约束优化问题，一般来说(即不清楚该目标函数是否为凸函数) ，拟牛顿法 是不是比梯度下降法和牛顿法的收敛性要好？能否给出一些相关的比较的性质及其文献出处？谢谢 |
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feixiaolin
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2楼2015-02-06 19:26:56
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| 如果目标函数非凸，这些方法一般只能收敛到局部最优点。Newton法的思想是在当前点附近的区域用Tylor二阶展开来近似目标函数，如 f(xk + dx) ~= f(xk) + gk'dx + 1/2 * dx'Hdx (1), 而最速下降法则用Tylor一阶展开近似：f(xk + dx) ~= f(xk) + gk'dx (2), 一般来说牛顿法要比最速下降法快很多， 特别是Hessian方阵H的条件数（最大特征根比最小特征根）很大时，最速下降法收敛很慢，但牛顿法不受影响，当然牛顿法付出的代价是要储存并计算H的逆。quasi-Newton法和BFGS法是为了提高牛顿法的计算效率对牛顿的近似处理。具体文献你可以参考Boyd 2009年的convex optimization. |
3楼2015-02-06 21:14:47
pippi6
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