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2楼2014-11-28 11:35:04
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【答案】应助回帖
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feixiaolin: 金币+2 2014-11-28 13:32:46
feixiaolin: 金币+2 2014-11-28 13:32:46
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肯定不对！常数和被积变量是不能够互换的。 实际上,对于不定积分Integral{sqrt(x^2-a^2)*dx}，令x=a/Cost, 并且假设：0≤t≤π/2，a>0，则有： Integral{sqrt(x^2-a^2)*dx} =Integral{sqrt(a^2/[Cost]^2-a^2)*a*Sint/[Cost]^2*dt} =Integral{a*tgt*a*Sint/[Cost]^2*dt} =a^2*Integral{[Sint]^2/[Cost]^3*dt} 再令u=tg(t/2)， 则t=2*Arctgu,dt=2*du/(1+u^2) 故Sint=2*tg(t/2)*[Cos(t/2)]^2=2*u*1/(1+u^2)=2*u/(1+u^2) Cost=2*[Cos(t/2)]^2-1=2/(1+u^2)-1=(1-u^2)/(1+u^2) 将这些代入前式，得到： Integral{[Sint]^2/[Cost]^3*dt} =Integral{[4*u^2*(1-u^2)^3/[1+u^2]]^5*2*du/(1+u^2)} =8*Integral{[u^2*(1-u^2)^3*du/[1+u^2]]^6} 这是一个有理分式的积分，这个是已经解决了的问题，具体参见任意一本高等数学教科书。 |
4楼2014-11-28 13:00:54
