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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 基础物理 » 高斯定理在二维下成立吗？二维时静电场的势函数是如何给出？
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我是kuang

铜虫 (初入文坛)

[求助] 高斯定理在二维下成立吗？二维时静电场的势函数是如何给出？ 已有2人参与

最近碰到个郁闷的问题，三维情况下一般高斯定理可以通过库仑定理再利用封闭曲面对其内部任意一点的立体角均为4\pi推出，但是在二维时这种证明方法感觉就行不通。
接下来的问题就是二维时静电势是不是仍然满足Poisson方程，如果是的话，那它的解析表达应该是个log函数，但是当在平面上趋向无穷远处的时候这个函数不会趋向于
0而是负穷。。是不是静电势这个物理概念可以这么定义？求各位大神解答，感激不尽！！
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I'mKuang.
1楼 2014-11-10 22:14:04
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
我是kuang: 金币+2, ★★★很有帮助 2014-11-12 18:26:52
如2楼所说， 现实中不可能出现真正二维的情形。但是是否可以这么理解，当线电荷足够长，在线电荷中部附近静电势几乎和轴向无关。在这个意义上，三维的静电势可以由一个二维静电势所近似。当然，此时这个二维静电势仍近似满足二维Poisson方程。同时，线电荷中心的电势也随线电荷长度增加而趋于无穷。这样，我们就不必纠结于是否真有无限长的的线电荷，而无法构造封闭曲面的问题。同时，我们也看到二维理论也有实际近似的意义。
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4楼2014-11-11 22:46:37
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leedobb

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
sweety: 回帖置顶 2014-11-11 19:11:43
我是kuang: 金币+3, ★★★很有帮助 2014-11-12 18:26:44
理想二维是这样的，这里的问题是出在若你要在三维空间构造一个理想二维的点电荷，就等效于构造一个无穷长的带电线，这样就造成了无穷远处到近处的电势差无穷大这种结局。

所以一般现实中不可能出现真正二维的情形，但当然可以利用已知对称性把三维问题简化成或近似成二维
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» 本帖已获得的红花（最新10朵）

我是kuang
有一天，我打了个瞌睡就到了这里，但我知道我掉入了时光的循环中，虽得以永生，但只有第一个循环有意义。
2楼2014-11-11 18:38:17
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我是kuang

铜虫 (初入文坛)
送红花一朵
引用回帖:
2楼: Originally posted by leedobb at 2014-11-11 18:38:17
理想二维是这样的，这里的问题是出在若你要在三维空间构造一个理想二维的点电荷，就等效于构造一个无穷长的带电线，这样就造成了无穷远处到近处的电势差无穷大这种结局。

所以一般现实中不可能出现真正二维的情形 ...

多谢回答！
还有，，关于利用对称性可否说具体一些？
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I'mKuang.
3楼2014-11-11 19:53:24
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leedobb

金虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by 我是kuang at 2014-11-11 19:53:24
多谢回答！
还有，，关于利用对称性可否说具体一些？...

二维的话高斯定理也是成立的，高斯定理其实跟维度没关系的

若你学了微分几何的话，高斯定理就表示成了

式中A为p-form，d为外微分。

对称性的例子，比如考虑一根长度有限的带电棒，其中心周围的电场
几乎在垂直方向没分量，因此可近似成二维情形。

但注意当离中心很远时就不能这样了，因为虽然垂直方向分量很小但你
若画三维的包络面的话，你会发现上下垂直方向的电通量不可忽略，因
为上下底面积非常大。
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有一天，我打了个瞌睡就到了这里，但我知道我掉入了时光的循环中，虽得以永生，但只有第一个循环有意义。
5楼2014-11-13 09:42:37
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