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felix2018

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[求助] 证明:对所有不是1的奇数n有伯努利数B_{n} = 0。各位朋友请进指教！！！

如何证明对所有不是1的奇数n有B_n = 0，希望大家可以讨论下，敬请指教！！！

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世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人！

1楼 2014-09-15 19:49:01

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Pchief

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Bernoulli 数列的指数型母函数是 $\frac{x}{e^x-1}$ ，这个母函数在减去它的线性项，即 $\frac{x}{2}$ 之后，得到的是一个偶函数，因此所有除线性项外的奇次项系数自然为零。

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2楼2014-09-15 21:07:45

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2楼: Originally posted by Pchief at 2014-09-15 21:07:45
Bernoulli 数列的指数型母函数是\frac{x}{e^x-1}，这个母函数在减去它的线性项，即\frac{x}{2}之后，得到的是一个偶函数，因此所有除线性项外的奇次项系数自然为零。

打错了，线性项应该是 $-\frac{x}{2}$

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3楼2014-09-15 21:10:31

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felix2018

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3楼: Originally posted by Pchief at 2014-09-15 21:10:31
打错了，线性项应该是 -\frac{x}{2}...

很不错，谢谢你！

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世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人！

4楼2014-09-15 23:37:54

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3楼: Originally posted by Pchief at 2014-09-15 21:10:31
打错了，线性项应该是 -\frac{x}{2}...

我还是有点不解，可以再说一下吗？谢谢了！本人愚笨，恳请详解！

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5楼2014-09-16 11:49:57

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$1+\sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{n!} x^n =\frac{x}{e^x-1}$

用 $-x$ 代替 $x$ ，得

$1+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n b_n}{n!} x^n =\frac{-x}{e^(-x)-1}=\frac{x e^x}{e^x-1}$

上述二式相减：

$2 \sum_{k=1}^\infty \frac{b_{2k-1}}{(2k-1)!} x^{2k-1} = -x$

于是根据幂级数恒等的定理，有 $b_1=-\frac{1}{2}$ ，而当 $k\geqslant 2$ 时， $\frac{b_{2k-1}= 0$

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6楼2014-09-16 12:51:44

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用 $-x$ 代替 $x$ ，得

$1+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n b_n}{n!} x^n =\frac{-x}{e^{-x}-1}=\frac{x e^x}{e^x-1}$

上述二式相减：

$2 \sum_{k=1}^\infty \frac{b_{2k-1}}{(2k-1)!} x^{2k-1} = -x$

于是根据幂级数恒等的定理，有 $b_1=-\frac{1}{2}$ ，而当 $k\geqslant 2$ 时， $b_{2k-1}= 0$ 。

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7楼2014-09-16 12:53:15

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7楼: Originally posted by Pchief at 2014-09-16 12:53:15
1+\sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{n!} x^n =\frac{x}{e^x-1}

用 -x 代替 x，得

1+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n b_n}{n!} x^n =\frac{-x}{e^{-x}-1}=\frac{x e^x}{e^x-1}

上述二式相减：

2 \sum_ ...

谢谢，这个问题困扰了很久了，今天终于解决了！😊😊😊

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8楼2014-09-16 14:24:11

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