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felix2018

铁杆木虫 (正式写手)

[求助] 证明:对所有不是1的奇数n有伯努利数B_{n} = 0。各位朋友请进指教!!!

如何证明对所有不是1的奇数n有B_n = 0,希望大家可以讨论下,敬请指教!!!
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世上没有绝望的处境,只有对处境绝望的人!
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)

Bernoulli 数列的指数型母函数是,这个母函数在减去它的线性项,即之后,得到的是一个偶函数,因此所有除线性项外的奇次项系数自然为零。
2楼2014-09-15 21:07:45
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)

引用回帖:
2楼: Originally posted by Pchief at 2014-09-15 21:07:45
Bernoulli 数列的指数型母函数是\frac{x}{e^x-1},这个母函数在减去它的线性项,即\frac{x}{2}之后,得到的是一个偶函数,因此所有除线性项外的奇次项系数自然为零。

打错了,线性项应该是  
3楼2014-09-15 21:10:31
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felix2018

铁杆木虫 (正式写手)

引用回帖:
3楼: Originally posted by Pchief at 2014-09-15 21:10:31
打错了,线性项应该是  -\frac{x}{2}...

很不错,谢谢你!
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4楼2014-09-15 23:37:54
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felix2018

铁杆木虫 (正式写手)

引用回帖:
3楼: Originally posted by Pchief at 2014-09-15 21:10:31
打错了,线性项应该是  -\frac{x}{2}...

我还是有点不解,可以再说一下吗?谢谢了!本人愚笨,恳请详解!

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5楼2014-09-16 11:49:57
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)



代替 ,得



上述二式相减:



于是根据幂级数恒等的定理,有 ,而当 时,
6楼2014-09-16 12:51:44
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)



代替 ,得



上述二式相减:



于是根据幂级数恒等的定理,有 ,而当 时,
7楼2014-09-16 12:53:15
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felix2018

铁杆木虫 (正式写手)

引用回帖:
7楼: Originally posted by Pchief at 2014-09-16 12:53:15
1+\sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{n!} x^n =\frac{x}{e^x-1}

用 -x 代替 x,得

1+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n b_n}{n!} x^n =\frac{-x}{e^{-x}-1}=\frac{x e^x}{e^x-1}

上述二式相减:

2 \sum_ ...

谢谢,这个问题困扰了很久了,今天终于解决了!😊😊😊

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8楼2014-09-16 14:24:11
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