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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 单叶函数的判定
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wangmabel

新虫 (初入文坛)

[求助] 单叶函数的判定 已有1人参与

如果一个函数在单位圆周上有两个阶数为2的极点，那这个函数在单位圆内一定不单叶，怎样证明这个论断？
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1楼 2014-08-26 13:30:31
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stq5267

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
设f(z)=p(z)/(z-a)^{2}(z-b)^{2}  极点是a,b 再对f(z)求导，f‘(z)恒不等于0就证明了f在单位圆盘里不单叶
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2楼2014-08-27 10:32:52
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wangmabel

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by stq5267 at 2014-08-27 10:32:52
设f(z)=p(z)/(z-a)^{2}(z-b)^{2}  极点是a,b 再对f(z)求导，f‘(z)恒不等于0就证明了f在单位圆盘里不单叶

导函数不等于零，只能说明函数局部单叶
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3楼2014-08-27 12:43:39
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stq5267

木虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by wangmabel at 2014-08-27 12:43:39
导函数不等于零，只能说明函数局部单叶...

证明存在单位圆盘内点处的f' 值为零，说明f(z) 不是局部单叶，故不单叶。
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4楼2014-08-27 16:27:42
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wangmabel

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
4楼: Originally posted by stq5267 at 2014-08-27 16:27:42
证明存在单位圆盘内点处的f' 值为零，说明f(z) 不是局部单叶，故不单叶。...

这样考虑肯定是行不通的。可以考察1/(z-a)^{2}(z-b)^{2}与1/(z-a)(zb)，这两个函数的对数导数只差一个常数，所以局部单叶性是相同的，但前者在单位圆内 不单叶，后者单叶。
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5楼2014-08-27 16:34:54
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