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kanglegong

银虫 (正式写手)

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10楼: Originally posted by hank612 at 2014-08-03 13:34:57
直接用单调的定义就好了,结论其实是非常强的

Emuch024.png

楼主,求这个的出处!
11楼2014-08-03 23:40:25
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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11楼: Originally posted by kanglegong at 2014-08-03 23:40:25
楼主,求这个的出处!...

这个Weierstrass的因式定理,网络上随便搜都有吧,比如
http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_factorization_theorem
剩下的计算,实在是没有什么可以计算,只是正负符号判断而已呀
并且因为每一项系数都是正的,连放缩都免了,没有必要啊

另外,发了图片后发现自己又犯晕了。 用图片中的幂级数展开式,直接证明导函数的分子大于零更加简单,这就是许多网友早就断言的思路。楼主写一下就知道了,就两行而已。
We_must_know. We_will_know.
12楼2014-08-04 02:09:58
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kanglegong

银虫 (正式写手)

内容已删除
13楼2014-08-04 12:00:46
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

引用回帖:
13楼: Originally posted by kanglegong at 2014-08-04 12:00:46
不过还是推不出来啊,看了很久没有看明白,求详细步骤,谢谢大神...



(1) Weierstrass 因式定理,类似于"多项式P(x)有根a 充分必要条件是(x-a)是 P(x)的因式"的推广。 由于sin(z)的根为,  立刻得到

(2) 由于Ln对数函数将乘积变成和,所以

(3) 由于ln(1-x)的Taylor展式, 将每一个 都展开,得到一个不完全的Taylor级数展开式:


(4) 你的H(x)分子分母都取个负号,得到, 然后求导, 那么分子为

我们只要证明这个分子是大于零的就够了。

(5)由于级数是可以逐项求导的,所以, , 这样可以得到分子为(千万不要化简)


(6)这个分子依然是Taylor级数,并且z的幂次只有奇数(偶函数的导数是奇函数)。 我们来看看z^{2p-1}的系数是怎么个表达式。

(7)当且仅当 k+j=p, 1<=k, 1<=j 这样的k,j 才对z^{2p-1}的系数有贡献。 提出一个常数因子 ,并将j=p-k代替, 因此 在分子中的系数等于

注意了,到现在为止,尽量少做化简,No Zuo No Die。

(8)合并同类项,得到.

(9)这下可以看出,这(p-1)项有一半是正的,一半是负的。我们将 1<=k<=[(p-1)/2] 和[(p+1)/2]<=k’<=p-1作一一配对, 即 k’=p-k. 于是得到
.

(10)在求和符号中,n,m只是记号,所以换个记号也不影响和式,所以

(11)系数再次提取公因式, 得到

由于1<=k<=[(p-1)/2]时,2k-p恒负,但因为0<a<1, 因式也是恒负,结果总的符号恒正,所以系数恒正,所以导数分子恒正。

(12) 楼主只说没有看懂,却没有说哪一步没有看懂,只好从头敲一大堆文字符号,估计typo不可避免,  最后说明一下,尽量少化简,少放缩,少兜路,多做多错。
We_must_know. We_will_know.
14楼2014-08-04 23:01:06
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

引用回帖:
14楼: Originally posted by hank612 at 2014-08-04 23:01:06


(1) Weierstrass 因式定理,类似于"多项式P(x)有根a 充分必要条件是(x-a)是 P(x)的因式"的推广。 由于sin(z)的根为k\pi, \mathrm{where } k=0,\pm\pi,\pm2\pi,\dots,  立刻得到  \si ...

趁着文件还在,把typo修改了一下,哈哈哈哈哈哈哈

(1) Weierstrass 因式定理,类似于"多项式P(x)有根a 充分必要条件是(x-a)是 P(x)的因式"的推广。 由于sin(z)的根为, 其中,  立刻得到

(2) 由于Ln对数函数将乘积变成和,所以

(3) 由于的Taylor展式, 将每一个 都展开,得到一个不完全的Taylor级数展开式:


(4) 你的H(x)分子分母都取个负号,得到, 然后求导, 那么分子为

我们只要证明这个分子是大于零的就够了。

(5)由于级数是可以逐项求导的,所以, 这样可以得到分子为(千万不要化简)


(6)这个分子依然是Taylor级数,并且z的幂次只有奇数(偶函数的导数是奇函数)。 我们来看看z^{2p-1}的系数是怎么个表达式。

(7)当且仅当 k+j=p, 1<=k, 1<=j 这样的k,j 才对z^{2p-1}的系数有所贡献。 提出一个常数因子 ,并将j=p-k来代替, 因此 在分子中的系数等于

注意了,到现在为止,尽量少做化简,No Zuo No Die。

(8)合并同类项,得到.

(9)这下可以看出,这(p-1)项有一半是正的,一半是负的。我们将 1<=k<=[(p-1)/2] 和[(p+1)/2]<=s<=p-1作一一配对, 即 s=p-k. 于是得到
.

(10)在求和符号中,n,m只是记号,所以换个记号也不影响和式,所以

(11)系数再次提取公因式, 得到

由于1<=k<=[(p-1)/2]时,因式(2k-p)恒负,但因为0<a<1, 因式也是恒负,结果总的符号还是恒正,从而系数恒正,从而导数分子恒正。

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We_must_know. We_will_know.
15楼2014-08-04 23:19:28
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kanglegong

银虫 (正式写手)

送红花一朵
引用回帖:
15楼: Originally posted by hank612 at 2014-08-04 23:19:28
趁着文件还在,把typo修改了一下,哈哈哈哈哈哈哈

(1) Weierstrass 因式定理,类似于"多项式P(x)有根a 充分必要条件是(x-a)是 P(x)的因式"的推广。 由于sin(z)的根为k\pi, , 其中 k=0,\pm\pi,\pm2\p ...

谢谢大神啊,我在详细看看这个步骤!不好意思耽误你这个多时间,非常感谢!
16楼2014-08-05 09:57:56
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