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kanglegong银虫 (正式写手)
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求证一个函数单调性问题（形式简单，数十人未证出，施予援手必有重谢 已有3人参与
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求证函数单调性问题 老帖http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=7695312&fpage=1 g（a）的导数有问题，所以继续求教各位大神！ |
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hank612
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10楼2014-08-03 13:34:57
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2楼2014-07-30 09:24:43
kanglegong
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peterflyer 
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【答案】应助回帖
感谢参与，应助指数 +1
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要证明H(x)在λ∈[0,1]和x∈[0,π/2]的条件下单调递增，只要证明H'(x)≥0就行了。 这个问题可以这样解决： H'(x)=[S'(x)/S(x)]/[S'(λ*x)/S(λ*x)] =1/λ*{[Sinx/x]/[Sin(λ*x)/(λ*x)]}*{λ*[x*Cosx-Sinx]/[λ*x*Cos(λ*x)-Sin(λ*x)]} =[λ*x*Sinx]/[x*Sin(λ*x)]*{[x*Cosx-Sinx]/[λ*x*Cos(λ*x)-Sin(λ*x)]} 因为[λ*x*Sinx]/[x*Sin(λ*x)]≥0 ， 当λ∈[0,1]和x∈[0,π/2]时 因此证明H'(x)的正负就归结于证明{[x*Cosx-Sinx]/[λ*x*Cos(λ*x)-Sin(λ*x)]}的正负了。 令φ(x)=x*Cosx-Sinx , ψ(x)=λ*x*Cos(λ*x)-Sin(λ*x) 即：H'(x)=φ(x)/ψ(x) 故φ’(x)=-x*Sinx≤0 , ψ‘(x)=-λ^2*x*Sin(λ*x)≤0 即φ(x)、ψ(x)都是减函数 而φ(0)=ψ(0)=0，故有： φ(x)<0,ψ(x)<0 故H'(x)>0 因此H(x)在λ∈[0,1]和x∈[0,π/2]时单调递减。 |
4楼2014-07-30 09:58:05