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nagami

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[交流] 分享一份自己整理的关于数学中拓扑框架的大纲已有9人参与

我是按照如下的方式做整理的，并做了排版，这些是可以依靠自学来完成的，但是有人指导对于学习代拓和微拓会帮助会很大：
1.拓扑理论
2.拓扑测度理论
3.拓扑代数理论
4.代数拓扑和微分拓扑学
主要的思想就是空间和映射。也就是说整理的资料分别是空间篇，映射篇以及对应的空间-映射定理群。
举一个例子就是Banach不动点定理：
从映射的角度来说：非空完备度量空间中的压缩自映射存在唯一不动点。
从空间的角度来说：非空完备度量空间关于压缩映射是不动点空间。
两则表述不同，而这微妙的不同就能引发一系列新的澎湃思想。
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每一类空间都有包含其结构特色的映射类，比如说
1）集合and映射；
2）拓扑空间and连续映射；
3）测度空间and可测映射；
3）一致空间and一致连续映射；
4）拓扑群and连续同态映射；
5）拓扑线性空间and连续线性映射；
6）微分流形and光滑映射；
etc
以下就是空间类的大致框架-
--------------------------------------分割线2--------------------------------------------------
1.拓扑理论
常见的拓扑空间有：积空间、商空间、仿紧空间、紧空间、一致空间、映射空间等等；
1-1.在积集上导入积拓扑就是积空间，从映射的角度看，此拓扑是使得积集到其因子空间的投影映射为连续的最弱拓扑；
其实在积集上还可考虑箱拓扑，它比积拓扑更强，但是积拓扑有个非常非常非常重要的定理就是Tychonoff积定理；
1-2.商空间就是在商集上导入使得商映射为连续的最强拓扑。
1-3.仿紧空间的技术处理是很特别，它采用开覆盖加细技术。两个结果值得注意，一是度量空间是仿紧T2空间（Stone定理；
二是仿紧T2空间存在从属于其开覆盖的单位分解，这是后续强有力的工具，无所不在；
1-4.紧空间为我们提供了一种技术手段，拓扑空间的紧扩张，但在后续比如拓扑代数理论遇到倒不是很多，Stone-Cech紧化看看即可；
1-5.一致空间其上的拓扑是由其一致结构导入的。比如完备度量空间和一致连续映射就是配对的，因为后则能保持拓扑外还有完备性。
1-6.映射空间需要特别值得关注，各种函数空间比如Sobolev空间，Holder空间对于偏微分-积分算子方程理论是最基本的。
映射空间导入拓扑有三种最为著名，分别是点态收敛拓扑，紧开拓扑和一致收敛拓扑。两个关于函数空间的定理一定要细细研
读下它们的证明：Stone-Weierstrass定理和Arzela-Ascoli定理。
2.拓扑测度理论
常见的测度相关空间是：可测空间、测度空间、度量测度空间、可测映射空间、可积函数空间、测度函数空间等等
加入拓扑测度理论一方面是为积分理论考虑的，另一方面是函数空间理论需求的。我们主要关心度量测度空间，在代数拓扑理论里面，我们会知道流形是局部紧的可度量化空间，仿紧性给出了单位分解的存在性。当与测度结构融合后，有更为丰富的性质和结果出现。换句话说，这是为流形上的微积分理论准备的。
2-1.可测空间就是一个集合配一个Sigma代数，为后续定义测度准备的。关于集值函数有两类非常著名：测度函数和KKM映射。
前者为了度量集合的大小，给出面积、体积概念的推广；后则是和拓扑线性空间中凸性有关的映射，以后会看到变分不等
方程的几个著名定理可看成KKM定理的推论。
2-2.测度空间是三元组，可测空间配一个测度函数。测度空间可不单单只包含测度结构，我们可以给它配一个伪度量，借助集合
的对称差运算。这种想法很正常，拓扑测度之所以叫拓扑测度，就是拓扑和测度的恰当融合。如何做到，正如你所见，利用
对称差运算和测度函数，我们定义了伪度量。这样就可以考虑可测集的各种逼近问题，而且表达得相当严格。
2-3.度量测度空间进一步加强了这种融合，它的Sigma代数是包含所有开集的最小Sigma代数。为什么要最小，都是有原因的。而且
我们还会考虑定义在较小集族下的测度函数如何扩张到Sigma代数等一系列技术性问题。这些问题会按照逻辑一步步演绎，逐个
解决，不是小孩子过家家那样敷衍了事，数学里面再小的问题也是问题，绝不含糊。
2-4.可测映射空间：为了定义可测映射自然需要可测空间作为铺垫，不过可测函数空间对于我们的目的（PDE的定性理论）才是重要的。
按照我们惯用的思路，还需在其导入适当的拓扑，同时也要结合测度结构带来的新内容。因此我们会说几乎处处点态收敛，几乎处处
一致收敛。注意几乎处处是测度概念，点态收敛和一致收敛是拓扑概念。
进一步，把可测空间换成测度空间，还会增加依测度收敛。当用测度定义了积分运算后，会出现Lp积分范数的收敛。需要额外注意的
是，不是可测函数都是可积函数。只要按照规则来办事就不会出问题，这套理论保证托托的。
2-5.可积函数空间，这是偏微分-积分算子方程理论最重要的背景空间，在拓扑代数理论里面，它是Banach空间，代数结构是从实值中继
承过来的。
2-6.测度函数空间：它提供了一种为连续函数空间的对偶空间具体化的方案。思路来源于积分运算的线性性，就是一种配对。不过我们需
要限制下，比如测度只限于Radon测度等等，完了完善提法。
3.拓扑代数理论
这是我们的第二主角，当然第一是代数拓扑和微分拓扑。
常见的拓扑代数空间是：拓扑群，拓扑线性空间、局部凸拓扑线性空间、Frechet空间、Banach空间、Hilbert空间等等
3-1.拓扑群是特殊的一致空间，可导入一致拓扑。进一步，当可度量化后，我们把它看成度量测度空间建立积分理论。综合起来就是，
在拓扑上它有一致结构导入的一致拓扑，可考虑完备性。这个一致拓扑如果可度化（大部分遇到的都可以），它还是度量测度空间，
可建立积分理论。在应用上还会遇到局部紧拓扑群，比如一般线性群GL(n)。所以理论是层层第进的，进展似乎还比较顺利。
3-2.拓扑线性空间是Abel拓扑群+与域的数乘运算。所以拓扑群的结论自然能继承过来。但是一般的拓扑线性空间不具备非常丰富的线性
泛函数（原因是这样无法定义弱拓扑，强拓扑下紧集太少，不利于理论展开）。因此就应用来说局部凸拓扑线性空间才是最重要的，
比如广义函数论就是建立在此的基础上。
3-3. 局部凸拓扑线性空间就是有局部基的拓扑线性空间，天生就有很非富的线性泛函数。数学结构丰富，是泛函分析研究的主要基本空间。
3-4.Frechet空间、Banach空间、Hilbert空间
不在此多述这些空间理论，对于那些过来人，这些空间是相当熟悉的。我们从拓扑空间到这些空间一步步第进，这就是公理化结构数学
的框架。以后的理论主要在Banach空间展开，偏微分-积分算子方程理论则主要在Hilbert空间展开。但对于非线性问题，只有代数拓扑和
微分拓扑的工具才能真正意义上较好的解决这些问题。
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4.代数拓扑和微分拓扑学
以下的书很值得拜读，如果有精力我一定会逐个通读的，可惜岁月不饶人，尤其对于上班族来说更是如此。它们分别是：
1.FixedPoint Theory (A.Granas, J.Dugundji)
2.Introductionto Topological Manifolds (Lie)
3.Introductionto Smooth Manifolds(Lie)
4.DifferentialTopology(M.W.Hirsch)
5.Lectureson Algebraic Topology(A.Dold)
6.Switzer,Algebraic Topology- Homotopy and Homology, Springer.2002
7.DifferentialForms in Algebraic Topology(R.Bott,W.Tu)
4-1.不动点理论
Fixed Point Theory (A.Granas,J.Dugundji)这本书目前本人只看了第0章-第2章，第3章之后开始大量注入同调理论的内容，Brouwer度和Leray-Schauder度对于PDE理论是重要的，因此这本书按正常来说需要第0章-第5章，大概350页的内容。
这里有个第0章的著名定理，这是拓扑和拓扑代数理论结合的一个例子，如果能大致明白这个，估计第0章到第3章顺利阅读没有实质性困难：
1）首先空间的性质又映射的连续扩张来定义
2）点集拓扑里的嵌入Hilbert cube的结果应用得相当得体。
3）拓扑代数理论进一步丰富了结果，比如这里Banach空间中的凸集是AR的。
4-2.流形理论
流形本身是个拓扑空间，且局部同胚于Rn或者Banach空间。前者叫有限维流形，后则叫无限维流形。而且流形是可度量化的，是一个度量测度空间，可引入积分理论。此外，流形可在局部引入拓扑代数结构。综合起来，流形是数学最基本的研究目标，一点没错。结构丰富。在物理上研究微分流形，可谓物理的基石。
4-3.微分形式
和不动点理论一样是一个伟大的理论，我的短期目标就是要看懂DifferentialForms in Algebraic Topology(R.Bott,W.Tu)，有点惋惜。
4-4.同调与同论
4-5.李群与齐性空间
4-6.低维拓扑
4-7.配边理论
4-8.嵌入，浸入及扭结理论
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这些都是前段时间写的，整理能让人更明白一些。。因为我是一个耐不住寂寞的人，曾想找一些网友一起学习，
但最后都失败了。有时我有兴致，别人不一定有；当别人有时，你可能反感继续学了。而且学习确实是一个人的事情，
耐得住寂寞你才能学到更多。如果将来有幸代数拓扑和微分拓扑学得不错，可再考虑把全部整理一遍。估计要多年以后了，
或许到时也是物是人非。

不动点的例子

文/Nagami

日期：10/29/2015

如下是最开始拟的大纲，代数拓扑下的PDEs理论最具软分析特点，比如不动点方法。此外，数值理论作为辅助，随机理论是对随机偏微分方程的包括。

数学框架

大致主要学习的书籍是：

点集拓扑：儿玉之宏的《拓扑空间论》、J.L.凯莱的《一般拓扑学》

泛函分析：H.Brezis的《Functional Analysis, Sobolev Spaces and PDEs》

测度论：Doob的《Measure Theory》

分布理论：L.施瓦兹的《广义函数论》

代数拓扑：A.Granas和J.Dugundji的《Fixed Point Theory》，etc

这些书思想很统一，数学语言表述一致，可循序渐进地学习。

需说明的是：关于点集拓扑部分，是不需要任何微积分基础的，从集合论的术语开始，微分和积分是有极限运算之后才定义，极限运算是基于拓扑的构造，不过这两个概念可以分得很开，微分运算一般在Banach空间定义（需要线性度量结构），积分在测度空间展开。

下面是一些主要概念的概括：
1.拓扑理论
2.拓扑测度理论
3.拓扑代数理论
4.代数拓扑和微分拓扑学
主要的思想就是空间和映射。
一个例子：Banach不动点定理：
从映射的角度来说：非空完备度量空间中的压缩自映射存在唯一不动点。
从空间的角度来说：非空完备度量空间关于压缩映射是不动点空间。
两则表述的对象不同，结论一样。
--------------------------------分割线1-------------------------------------
每一类空间都有包含其结构特色的映射类，比如说
1）集合and映射；
2）拓扑空间and连续映射；
3）测度空间and可测映射；
3）一致空间and一致连续映射；
4）拓扑群and连续同态映射；
5）拓扑线性空间and连续线性映射；
6）微分流形and光滑映射；
etc
以下就是空间类的大致框架-
--------------------------------分割线2-------------------------------------
1.拓扑理论
常见的拓扑空间有：积空间、商空间、仿紧空间、紧空间、一致空间、映射空间等；
1-1.在积集上导入积拓扑就是积空间，从映射的角度看，此拓扑是使得积集到其因子空间的投影映射为连续的最弱拓扑（数学的概念总是寻求某种最优）；
其实在积集上还可考虑箱拓扑，它比积拓扑更强，但是积拓扑有个非常重要的定理就是Tychonoff积定理；
1-2.商空间就是在商集上导入使得商映射为连续的最强拓扑。
1-3.仿紧空间的技术处理很特别，它采用开覆盖加细技术。两个结果：
一、度量空间是仿紧T2空间（Stone定理）；
二、仿紧T2空间存在从属于其开覆盖的单位分解（构造性硬分析）；
从上可知，拓扑流形的一般定义，存在单位分解，用于对于流形上的积分理论。
1-4.紧空间为我们提供了一种技术手段，拓扑空间的紧扩张：比如Stone-Cech紧化；
紧性与完备性一样，常常用于软分析证明。
1-5.一致空间其上的拓扑是由其一致结构导入的。比如完备度量空间和一致连续映射就是配对的，除了保持拓扑性质，还有度量性质，比如全有界、Cauchy收敛列，etc。
1-6.映射空间需要特别值得关注，各种函数空间比如Sobolev空间，Holder空间，是算子方程研究的基本空间。
映射空间导入拓扑有三种最为著名，分别是点态收敛拓扑，紧开拓扑和一致收敛拓扑。两个关于函数空间定理，极为常用：
Stone-Weierstrass定理和Arzela-Ascoli定理。
注：Stone-Weierstrass定理可说明三角函数系的基特性，与Fourier级数不同，前者是Banach空间下的，后者是Hilbert空间下的。
Arzela-Ascoli定理可用于证明积分算子在某些空间对下具有紧性，紧线性算子不具有有界逆，故偏微分方程反演问题（第一类积分方程）常常是本质病态的。
2.拓扑测度理论
常见的测度相关空间是：可测空间、测度空间、度量测度空间、可测映射空间、可积函数空间、测度函数空间等等
加入拓扑测度理论一方面是为积分理论考虑的，另一方面是函数空间理论需求的。我们主要关心度量测度空间，在代数拓扑理论里面，流形是局部紧的可度量化空间，仿紧性给出了单位分解的存在性。当与测度结构融合后，有更为丰富的性质出现。换句话说，这是为流形上的微积分理论准备的。
2-1.可测空间就是一个集合配一个Sigma代数，为后续定义测度准备。关于集值函数有两类非常著名：测度函数和KKM映射。
前者为了度量集合的大小，给出面积、体积概念的推广；后则是和拓扑线性空间中凸性有关的映射，会看到变分不等方程的几个著名定理与KKM定理关系极为密切。
2-2.测度空间是三元组，可测空间配一个测度函数。测度空间可以给它配一个伪度量，借助集合的对称差运算。这种想法很正常，拓扑测度之所以叫拓扑测度，就是拓扑和测度的恰当融合。如何做到，正如你所见，利用对称差运算和测度函数，定义了伪度量。这样就可以考虑可测集的各种逼近问题（度量刻画了拓扑），与拓扑融合的前奏。
2-3.度量测度空间进一步加强了这种融合，它的Sigma代数是包含所有开集的最小Sigma代数。为什么要最小，是有原因的。而且还会考虑定义在较小集族下的测度函数如何扩张到Sigma代数等一系列技术性问题。这些问题会按照逻辑一步步演绎，阶梯式给出一系列定理群。
2-4.可测映射空间：为了定义可测映射自然需要可测空间作为铺垫，可测函数空间对于PDE的定性理论是相当重要的。按照惯用的思路，还需在其导入适当的拓扑，同时也要结合测度结构带来的新内容。因此会说几乎处处点态收敛，几乎处处一致收敛。注意几乎处处是测度概念，点态收敛和一致收敛是拓扑概念。
进一步，把可测空间换成测度空间，还会增加依测度收敛。当用测度定义了积分运算后，会出现Lp积分范数的收敛。需要额外注意的是，不是可测函数都是可积函数。
2-5.可积函数空间，这是偏微分-积分算子方程理论最重要的背景空间，在拓扑代数理论里面，它是Banach空间。PDEs理论的基本空间之一。
2-6.测度函数空间：它提供了一种为连续函数空间的对偶空间具体化的方案。思路来源于积分运算的线性性，就是一种配对。不过我们需要限制下，比如测度只限于Radon测度等等。配对思想即为重要，比如Stokes高维积分公式。
3.拓扑代数理论
常见的拓扑代数空间是：拓扑群，拓扑线性空间、局部凸拓扑线性空间、Frechet空间、Banach空间、Hilbert空间等
3-1.拓扑群是特殊的一致空间，可导入一致拓扑。进一步，当可度量化后，我们把它看成度量测度空间建立积分理论。综合起来，在拓扑上它有一致结构导入的一致拓扑，可考虑完备性。这个一致拓扑如果可度化（大部分遇到的都如此），它还是度量测度空间，可建立积分理论。在应用上还会遇到局部紧拓扑群，比如一般线性群GL(n)，理论是层层第进，体现公理化思想。
3-2.拓扑线性空间是Abel拓扑群结合域的数乘运算。因此拓扑群的结论自然能继承过来。但是一般的拓扑线性空间不具备非常丰富的线性泛函数（原因是这样无法定义弱拓扑，强拓扑下紧集太少，不利于理论展开）。就应用来说局部凸拓扑线性空间才是最重要的，比如广义函数论就是建立在此的基础上。
3-3. 局部凸拓扑线性空间就是有局部基的拓扑线性空间，有很非富的线性泛函数，是泛函分析研究的主要基本空间。
3-4.Frechet空间、Banach空间、Hilbert空间
分析学最为重要的结论基于这些空间。以后的理论主要在Banach空间展开，偏微分-积分算子方程理论则主要在Hilbert空间展开。
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4.代数拓扑和微分拓扑学
著名书籍：
1.《Fixed Point Theory》 (A.Granas, J.Dugundji)
2.《Introduction to Topological Manifolds》 (Lie)
3.《Introduction to Smooth Manifolds》(Lie)
4.《Differential Topology》(M.W.Hirsch)
5.《Lectureson Algebraic Topology》(A.Dold)
6.Switzer,《Algebraic Topology- Homotopy and Homology》, Springer.2002
7.《DifferentialForms in Algebraic Topology》(R.Bott,W.Tu)
4-1.不动点理论
Brouwer度和Leray-Schauder度对于PDE理论是重要的（其他理论易如此）。
《Fixed Point Theory》是本人结果数学表述最为流畅的一本书，结尾的图片给出了一个第0章的著名结果，是拓扑和拓扑代数理论结合的一个典范例子，应该感到震惊，谁会想到点集拓扑除了提供了现代数学的基本术语，技巧性的应用体现无疑：
1）首先空间的性质有映射的连续扩张来定义
2）点集拓扑里的嵌入Hilbert Cube结论应用得相当巧妙。
3）拓扑代数理论进一步丰富了结果，比如这里Banach空间中的凸集是AR的。
4-2.流形理论
流形本身是个拓扑空间，且局部同胚于Rn或者Banach空间（特指无限维）。前者叫有限维流形，后则叫无限维流形。而且流形是可度量化的，是一个度量测度空间，可引入积分理论。此外，流形可在局部引入拓扑代数结构。流形是数理物理学最基本的空间架构。
4-3.微分形式
和不动点理论一样是一个伟大的理论，对数理物理学比如Hamilton力学、电磁场等基本规律可给出根本性概括。
4-4.同调与同论
4-5.李群与齐性空间
4-6.低维拓扑
4-7.配边理论
4-8.嵌入，浸入及扭结理论

[ Last edited by nagami on 2016-2-14 at 12:59 ]

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