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euler lagrange equation尤拉方程（E-L）意义的讨论
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请数学方面的同仁，讨论一下这个问题：就是在泛函求极值（设定functional泛函为Q[f(x)]）的过程中，Euler Lagrange equation即尤拉方程可以将它看成是泛函Q[f(x)]对f(x)的gradient（梯度）吗？我只想知道用梯度下降法的原因。人们往往把负梯度等价成尤拉方程直接用steepest descent（梯度下降法又称gradient descent）来求解，我想知道这一步的原因。 在http://wwwx.cs.unc.edu/~mn/classes/comp775/doc/calculusOfVariations.pdf一文中，原文说 Incidentally, the left hand side of the Euler-Lagrange equation can be regarded as an infinite-dimensional gradient in the L2 sense, i.e., ∇F =∂f/∂y−d(∂f/∂y’) /dx, yielding the gradient descent scheme Ft = −∇F.请问上述设定是不是适合所有情况呢？如果不是的话，还有哪些特殊情况呢？这个∇F是不是我所说的Q[f(x)]对f(x)的gradient（梯度）吗？这个问题困扰好几天了，希望能得到您的帮助和确切答复，我的邮箱是，reganyuan8@tju.edu.cn, 备注：我在网上也发现有类似的情况 http://mathoverflow.net/questions/60291/euler-lagrange-gradient-descent-heat-equation-and-image-denoising，有人回复，但是我仍然不太明白。 |
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