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hustdragon

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[求助] 互补误差函数erfc(1/sqrt(t))拉普拉斯变换推导(complete)已有2人参与

希望能解析推导。

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1楼2014-05-09 11:54:26

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hustdragon

木虫 (小有名气)

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希望学数学的高人帮忙解答一下！自己顶一下！

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2楼2014-05-10 11:49:41

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

若 $y=T-\frac{1}{T}$ , 当T从0到 $+\infty$ 时,y从 $-\infty$ 到 $\infty$ 且 $T=\frac{\sqrt{y^2+4}+y}{2}$ .
设a>0, 则 $\int_{0}^{\infty} e^{-a(T-\frac{1}{T})^2} dT= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ay^2}\cdot \frac{1}{2}(\frac{y}{\sqrt{y^2+4}}+1)dy =\int_{0}^{\infty} e^{-ay^2} dy=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{a}}$

因此, $\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{z^2s}{4t^2}-t^2}dt =e^{-z\sqrt{s}} \int_{0}^{\infty} e^{t-\frac{z\sqrt{s}}{2t}}dt = e^{-z\sqrt{s}} \int_{0}^{\infty}e^{-\frac{z\sqrt{s}}{2}(T-\frac{1}{T})} d(\sqrt{\frac{z\sqrt{s}}{2}T})=\frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-z\sqrt{s}}$

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We_must_know. We_will_know.

3楼2014-05-22 02:35:33

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hank612

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引用回帖:

3楼: Originally posted by hank612 at 2014-05-22 02:35:33
若 y=T-\frac{1}{T} , 当T从0到 +\infty 时,y从 -\infty 到 \infty 且 T=\frac{\sqrt{y^2+4}+y}{2} .
设a>0, 则 \int_{0}^{\infty} e^{-a(T-\frac{1}{T})^2} dT= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ay^2}\cdo ...

输入很容易出错, 再来一次

$e^{z\sqrt{s}} \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{z^2s}{4t^2}-t^2}dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(t-\frac{z\sqrt{s}}{2t})^2}dt = \int_{0}^{\infty}e^{-\frac{z\sqrt{s}}{2}(T-\frac{1}{T})^2} d(\sqrt{\frac{z\sqrt{s}}{2}T})=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$