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stred至尊木虫 (文坛精英)
蓝翔技校优秀毕业生
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[交流]
关于相对论与其解的时空分析
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一。狭义相对论的时空解及比较 在狭义相对论中，两惯性系相对速度 与 和 平行 （1） （ ）为 坐标系的坐标，（ ）为 坐标系的坐标，令 ， ，所以变换矩阵为 （2） 如果; ,相对速度 不变，那么 (3) 比较 与 （4） （5） 比较后知道（4）式=（5）式 （6） 二。时空观测的定义 为了较方便地说清楚不同的观测结果与不同坐标中长度与时间的相互比较 的关系，在字母顶部加3个指标， 如： 定义为：左边指标为观察目标所在的坐标系，中间指标为观察者选择的单 位长度与时间所在的坐标系，右边指标为观察者观察时所在的坐标系。这样有： 其中， 和 是固有时， 与 是固有长度。 三。 的推导 在狭义相对论中有 (6.1) 那么，在什么条件下上式会是普适的呢？ 先来考察欧几里德几何。对观察者而言，在欧几里德几何中的二维空间的坐 标 中，观察到的单位长度 ，与在欧几里德几何中的二维空间坐标 中， 观察到的单位长度 。观察者是无法在长度方面区别 和 的，即 （7） 这是欧几里德几何的观察者假设，也是符合经验的假设，以前从未被指出过。 根据相对论，在四维时空坐标中，时空量表示为： （8） 广义相对论中的不变量原理确定了，任意四维时空坐标都有（8）式。 现在，在非欧几里德的四维时空坐标中，推广欧几里德几何的观察者假设。 先定义一种四维时空坐标，在观察者观察的时间内，这个坐标内的时空度规 时间平移不变性和空间平移不变性，令ξ为坐标内时空场ξ= ξ ,(i=1,2,3,4)，表示为李（Lie）微商有 ?ξ gμυ =0 （9） 而 （10） 如果所取的时空体积足够小，即 ，那么总可以成为这种坐标。这种坐 标具有普适性。 在四维时空中,随意取两个这种坐标 和 ，观察者在坐标内所观察到的单 位时空量 和 ，如果观察者不与坐标外其他坐标比较的话，他是无法在 时空量方面区分他在 和坐标内观察到的单位时空量和（观察者在 坐标内观察 时，也不能与 坐标内的比较。他只能分别观察 和 后，再比较 和 ）。这是四维弯曲时空的观察者假设。即观察 者无法区分不同的这种坐标系的固有时间和固有长度。 这样观察者可以得到 （11） 令 ， ，得： （12） （12.1) 由（9）式和（10）式的定义，观察者总能认为他所在的坐标系内满足 （13） （14） 那么有 （6） 因 所以 有相同的量纲。 所以可以，令 （15） （16） 那么有 （15.1) (16.1) 所以 (17) 而在上述定义的坐标系中，总有 （18） 所以 （19） 这样就有在上述定义的坐标系中，时间量平方的变化量与空间量平方的变化 量相等。这就是时空的对称变化。可写为 （6） 这里称为时空对称理论。上式的空间量是固有长度 和 ，时间量则 不是固有时，固有时 和 有下列关系： （20） 而 和 不符合 中的任一 种时间量的微分，故 （16） 不是真实观测值。 四。Schwarzchild解的分析 用时空对称理论求解Schwarzchild解十分简单，在得到 后，因 （19） 可得 （15.2) (16.1) (13.1) 下面用广义相对论四维时空标架求解Schwarzchild解，并比较时空对称理 论用四维时空标架求解Schwarzchild解的办法 （t=ict , c =1) (21) 这是静态球对称度规的标准形式。 在求解过程中得到 ， （22） 令 ，得到 （23） 令 ，其物理意义是将绝对平直坐标系内的固有时与固有长度之间 物理条件，应用到有引力场的非惯性坐标系。 因此 （16.2) 不是真实观测值。 而固有时 与 之间有 （20.1) 这样 与固有长度的度规 有 （24） 又因为对观测者而言 项是观测不到的，所以观测到的是正交时空 坐标，这样静态球对称度规的标准形式： （t=ict , c =1) （21） 不符合要求，只有 （25） 符合要求。 计算克里斯朵夫联络的非零分量，其中 ， ， ， ， 。 与经典的求解Schwarzchild解的计算值一样。 （26） 也与经典的求解Schwarzchild解的计算值一样，也可得 ， （22） 令 ，Schwarzchild解中的长度量，用固有长度表示有 （23.1） 用时空对称理论求解Schwarzchild解有 （13.1） 因为 项观测不到，任何观测坐标都是正交的。 不变， （其中的r 是远离引力场的观测者的观测值， ） 这样，时空对称理论依旧可解释引力红移，引力引起的光线偏折和水星近 日点进 动（详细内容在附录中）。 这样，用时空对称理论和广义相对论求得的Schwarzchild解时空物理意义 等价。 五。关于Kerr解 Kerr解中 不全为0，不是真实观测解，不能符合用四维时空的观 察者假设推导出的时空对称理论。 但用时空对称理论分析自转坐标系，也能得到Kerr解才有的单位质量的角 量a ，这将在下面分析。 六。时间量和空间量 经验告知，空间是三维的，时间是一维的。在观测者的直接观测中，是观 测不到空间与时间，空间与空间的相互作用。 故假定：观测者通过直接观测，无法观测到空间与时间的相互作用量。即： (27) 除非通过计算观测结果，方可知道空间与时间的相互作用量。 这样，对观测者的直接观测而言，任何观测四维时空的线元长度为 (13) 而 项是观测不到的。 绝对平直时空的四维时空线元 （13） 就是任何观测者的直接观测结果。 设有一种坐标系： 在该坐标系内任何一点观测，光在此坐标系内的任何两点的行走路 径，都 是直线；在坐标系内任意点的真空中光速恒定，称为相对平直坐标系。在弯曲时 空取足够小的时空范围，可得到此类坐标系，这类似微分。在弯曲时空取足够小 的时空范围，该范围的时空近似平直。这与上面关于直接观测是观测不 到 项是一致的。在此坐标系内有统一的时空单位和统一的钟和尺。 所以，此坐标系有： （28） [v]是指此坐标系内任意点真空中光的速度， [t]是指此坐标系内任意点的 时间。 以后本文中的坐标系都是此类坐标系。称为相对平直坐标系。 不同的相对平直坐标系之间是"平行"的，须通过物理参数的变化，物质方 能从一个相对平直坐标系进入另一个相对平直坐标系。 （29） （29）是时空对称理论，即时间量平方的变化量与空间量平方的变化量相等。所 用的坐标系是相对平直坐标系。其中 和 不是固有时，设这两个坐标系 固有时为 和 ，有： （30） 所以，这里的时间量平方 与空间量平方 不能理解为： 可用时间单位或空间单位的平方代替，而应理解为类似密度的一种量，称为时 间量密度与空间量密度。时空对称理论是指时间量密度与空间量密度的对称变 化。 令时间量密度为 ，空间量密度为 ， 类比固有时平方的倒数 ，并可以替代； 类比固有长度平方 ，并可以替代； （ 分别为固有时和固有长度） 令时空密度为 ，不同的相对平直坐标系有不同的时空密度 ，任意相对平直坐标系中有 （31） 在同一个相对平直坐标系中， 类比线元 ，但是不可以替代。 不同的相对平直坐标系比较时空观测值时，须使用时间量密度和空间量密 度，通过设定某一相对平直坐标系时间量密度和空间量密度为1，得到不同的相 对平直坐标系的不同时间量密度和空间量密度。然后，对不同的相对平直坐标系 换算出不同的时间量和空间量单位。 这样时空对称理论实际上是关于时空密度的变化的理论，可表示为： （32） 为不同的两个相对平直坐标系时空密度， 为时空密度的变化量。 七。时空密度的变化量 在狭义相对论中 （33） 在Schwarzschild解中 （c=1） (34) 引力 （35） 根据等效原理有惯性质量等于引力质量，或在局域时空内惯性力和引力不 可区分，在本文中局域时空为相对平直坐标系代替，那么在相对平直坐标系中 （36） （37） （38） 所以有： （39） 在狭义相对论和Schwarzschild解中 （33） 那么，时空对称理论中，时空密度变化量 ，在 时， （33） 这样 （37） 变为 （40） 此积分为不定积分。 这里 是能量的一种形式。用四维时空观点看， 是二阶逆变二阶 协变张量而不是狭义速度矢量的平方。 时空对称理论在 时表示为 （41） 为须观测的坐标系的时空密度； 为观测者所在的坐标系的时空密度，时间密度，空间密度； 是能量的一种形式。哪个坐标系绝对地得到能量，这个坐标系的时空密度绝对地改变。 八。时空对称理论和狭义相对论 假设两个相对平直坐标系，一个静止，一个角速度为 做圆周运动。 用时空对称理论分析 (42) 对于角速度为 的坐标系，离心力为 （ r 为圆周半径）， 即 （43） （44） 所以，时空密度的变化量 为 （45) 有 （46） 对于固有时 和固有长度 有 （47） 用狭义相对论分析固有时和固有长度有 （48）(是速度方向） 可以看出两理论对固有时有相同结论；对于固有长度，时空对称理论认为 固有长度全方向改变，狭义相对论认为只是平行瞬间速度 方向的固有长度 改变。 用时空对称理论和狭义相对论分析以速度 v做直线运动的坐标系也有相同 结论，只不过时空对称理论将以速度 v做直线运动的坐标系当做绕无穷远处某 点做圆周运动。 对于迈克耳逊-莫雷实验，狭义相对论是用惯性系中光速恒定来解释，时空 对称理论是用相对平直坐标系中光速不变来解释。 九。时空对称理论的详细表述 假设1：设有时空坐标系 (28) （即光速恒定, 项观测不到 ） 是指此坐标系内任意点光的速度， 指此坐标系内任意点的固有时。 此类坐标系称为相对平直坐标系。 假设2：任何观测者所观测到的真实时空坐标系都是相对平直坐标系。 不论是惯性系或非惯性系，只要坐标系足够小，都是此类坐标系。 相对平直坐标系之间比较时空量，使用时空密度 （31） 是时间密度 ， 是空间密度。 在任一相对平直坐标系中，观测者处在相同的时空密度 中，就有相同 的时间密度 和 空间密度 ，因而有相同的固有时和固有长度。 的大小正比于固有时流逝的快慢。 的大小正比于固有长度的长短。 时空对称理论可表述为 (32) 为不同相对平直坐标系的时空密度。 当 ，有 （42） (40) 用四维时空观点看是二阶逆变二阶协变张量。 时空对称理论认为 是能量的一种形式，而不是狭义的速度平方或加速 度，或二阶逆变二阶协变张量，上式的积分为不定积分。 当能量形式 绝对的改变，时空密度 绝对的改变。 十。时空对称理论对不同坐标系之间的观测比较 时空对称理论对不同坐标系之间的观测比较可简单的分为两种情况。其计 算结果是真实观测值。 1。两个相对平直坐标系 , 比较，有时空密度 ， 假设： 那么： （42） 为两坐标系时空密度的比较 坐标系 的固有时比坐标系 的固有时流逝快。 坐标系 的固有长度比坐标系 的固有长度长。 并通过 （40） 与经典的速度，引力和加速度对比，从而得到不同坐标系的固有时和固有 长度的区别。 2。设有三个坐标系 ，时空密度分别为 ， 假设 有 （32.1) (49) 其中（ , ） 不论观测者在 坐标系都将得到（49）式观测结果，观测者在第四坐标系也将得到（49）式观测结果，这是时空对称理论中所得计算结果是真实观测 值的推论，也是时空对称理论的两个假设的推论。 十一。关于时空对称理论可能的实验证实 一种是检测高速自转物体的半径和厚度是否缩短？ 这种情况下，狭义相对论认为只有沿速度方向的周长缩短，半径和厚度不 变。而时空对称理论认为周长，半径和厚度都将缩短。半径缩短后为 （略去 以后项） （49） 项与Kerr-Newman解中的单位质量角动量项a一致。 厚度缩短后为 （50） 另外一种是一个加速运动坐标系与相对静止的坐标系之间，在 的情况下，将有时空密度 的变化。 那么，当发射光谱的元素做加速运动时，将有类似引力红移的光谱红移现 象。 如果，是发射光谱的元素静止，而观测光谱的仪器和观测者做加速运动， 将有光谱紫移现象。 除去多普勒效应，由振动频率公式可得，光谱线发生红移时，移动的频率 为： （51） 是光子的固有振动频率 很显然，对于相对平直坐标系中的物体而言，当 时，物体进入类似黑洞事件视界的另一种事件视界。 参 考 文 献 A.爱因斯坦 相对论的意义 科学出版社 1961 E.G.哈里斯 现代理论物理导论 上海科学技术出版社 1975 张镇九 现代相对论及黑洞物理学 华中师范大学出版社 1986 王仁川 广义相对论引论 中国科学技术出版社 1996 俞允强 广义相对论引论 北京大学出版社 1997 赵峥 黑洞的热性质与时空奇异性 北京大学出版社 1999 附 录 （用时空对称理论解释光子轨线的引力偏折和水星近日点进动） 广义相对论中求质点和光子的轨道方程时，取球坐标，认为运动满足于 , （1） 协变动量 和 是守恒量，有 （2） E和L的物理意义，为观测者所测到的质点或光子的能量和角动量。 四维速度的归一条件 有 （3） 得到质点的轨道微分方程 （4） 光子的轨道微分方程 （5） 广义相对论用这两个轨道微分方程解释了光子的引力偏折和水星近日点 进动。 广义相对论用来解释引力红移的方法也一样适用于时空对称理论。这里 就不重复了。只讨论时空对称理论解释光子轨线的引力偏折和水星近日点进动。 因为时空对称理论是用真实观测值来解释时空的理论。用它得到的Schw- arzschild解有 （6） （7） 固有时的关系有 （8） 固有长度的关系有 （9） 为时空密度， 为时间密度， 为空间密度。 按固有时和固有长度来看，观测者在远离引力场的坐标系，观测引力场坐 标系有 （10） 是引力场坐标系固有时， 是远离引力场的坐标系固有时， 是引力场坐标系运动平面角。这样就有 （11） 因为两个坐标系之间的能量 ，角度 ，角动量 和长度 的比较有 （12）（能量守恒） （13） （ 项为零） （14） （坐标系之间固有时和固有长度的比较） （15） （坐标系之间固有长度的比较） 代入（11）式有 （16） 四维速度的归一条件变为真实观测值有 （17） 将（16）式代入（17）式有 (18) , 这就是时空对称理论的引力场中的轨道微分方程。 能量E是远离引力场中的观测者观测到引力场中的能量，为引力场坐标系与无穷远处坐标系的能量差，数量级为 略去二级小量，时空对称理论的轨道微分方程成为相对论的质点轨道微分方程 （4） 对于光子而言，角动量 ，因为光子在弱引力场中走的几乎是直线， 可以认为光子绕无穷远处某点做圆周运动。 （4）式 略去小量后，得到相对论的光子轨道微分方程 （5） 这样，用时空对称理论就可以解释引力红移，光子轨线的引力偏折和水星日 点的进动了。 参 考 文 献 A.爱因斯坦 相对论的意义 科学出版社 1961 张镇九 现代相对论及黑洞物理学 华中师范大学出版社 1986 王仁川 广义相对论引论 中国科学技术出版社 1996 俞允强 广义相对论引论 北京大学出版社 1997 |
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