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三角函数
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三角函数在现代众多学科中应用非常广泛，因为它具有很好的数学性质：（1）任何函数都可以用有理函数逼近，而有理函数都可以用三角函数逼近，任意的函数总能展开成三角级数；（2）三角函数是正交完备的函数，正交性可简化计算且可避免求解联立方程，完备性可使级数收敛于精确解。所以，三角函数可以说是各种函数的基础，其图像也是各种图形的基础。 三角函数之所以能得到大量应用决不是偶然的。从哲学意义上来分析，三角函数具有良好的哲学性质： （1）根据辩证的否定观：任何事物产生之时，都孕育了否定自己的因素，随着条件的变化和内部斗争的发展，否定因素不断壮大。当此变化累积到一定程度时，它将战胜肯定因素而居于主导地位，导致事物发生变化。因此辩证的否定是事物的自我否定。事物发展是“肯定——否定——否定之否定”的过程。对于三角函数的波形来说，它对x轴的远离和接近构成了一对肯定因素和否定因素，两者不断此消彼长，相互否定，所以函数在Y轴的投影变化是不断“增大——减小——再增大”的周期性过程。道家哲学中对此有相应论述：“天下万物生于有，有生于无”（《老子》第40章）。老子认为万物从“无”—否定来开始生成发展，同时，“反者道之动”（《老子》第40章），符合马克思主义的辩证发展观。“有”之后的发展趋势必然是“无”，“大”之后必然趋向“小”。 （2）任何辩证的运动过程都不是封闭的循环，也不是直线性的前进，而是不断的螺旋式上升过程。所以三角函数纵坐标值的变化也不是线性的。 （3）半个波长的形状为什么不是半圆形呢？根据任何事物内部都包含肯定因素和否定因素两个方面的辩证法观点，半个波长的形状应当既具有圆形的性质，又具有线性（非圆形）的性质，所以实际表现为两者的折中体。由此，我们不难理解地球是一个近似于绕着椭圆短轴旋转的椭球而不是标准球形。如老子所说：“大成若缺，其用不弊；大盈若冲，其用不穷。大直若曲”（《老子》第45章）。 （4）事物内部矛盾的双方不断地进行斗争转换，在此过程中，主导地位从一个性质向另一性质的转换时间显然相对比较短暂，所以事物内某种单一性质占绝对优势的情况必定不占多数，对应三角函数的上升和下降段形状是凸的，也即纵坐标值的上升和下降都比较迅速。由此联想到随机变量中最常见的正态分布，其形状的性质和正弦曲线是一致的。已经证明，大量独立的随机变量的迭加结果也正是正态分布。 |
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