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【原创】现代数学在控制理论学科产生和发展过程中的作用【已搜无重复】
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本人从小到大，数学一直是块“心病”。但是我所从事的专业偏偏对数学水平的要求较高。所以我只好硬着头皮学数学。以下是我对现代数学知识在控制理论学科中作用的总结。写的不好，希望能给大家一些启发。 本人是标准的新虫，头一次发帖，有什么不当之处望请各位斑竹多指教！谢谢！ 1 前言 从十九世纪初开始，在数学领域取得的前所未有的发展将人们带入了现代数学的时代。现代数学，实现了从代数运算到代数结构、从有限维空间到无限维空间、从函数到算子、从序列收敛到网收敛、从导数到广义导数、从Newton-Leibniz公式到Stokes公式、从泰勒公式到学习理论、从矩阵的特征值到算子的谱、从微分方程到动力系统、从随机变量到随机过程、从数学应用题到数学建模、从Stirling公式到积分的渐进逼近、从平坦的欧式空间到弯曲的黎曼空间等各领域的转变。这些转变带动了其他学科、特别是工程性学科的飞速发展，促进了许多新兴学科的产生。正是在这种背景下，控制理论学科应运而生，并在过去的六十年中得到了长足的发展和广泛的应用。 2 现代数学在控制理论产生和发展过程中的作用 控制理论的发展经历了经典控制理论、现代控制理论和大系统、智能控制理论的过程。而现代数学则贯穿于控制理论学科发展的全过程。 2.1 经典控制理论的形成与发展 1948年，美籍学者、数学家诺伯特•维纳（Norbert Wiener）出版了其划时代的著作——《控制论》，宣告了控制论这一崭新学科的诞生。控制论的诞生，体现了现代数学知识在解决工程问题中所起到的不可替代的作用。 维纳出版《控制论》从而宣告控制论的诞生，并不是偶然的现象。他早期是一名优秀的、纯粹的数学家，对数理逻辑、概率论、调和分析等领域做过十分重要的研究，取得了丰硕的成果，提出和建立了广义调和分析、陶伯定理、维纳—霍甫方程等许多理论体系和定理，获得过美国数学会颁发的波歇（Bocher）奖。然而，维纳一生中最光辉的顶点却起源于1940～1947年间他对火力控制的研究。 在20世纪40年代，工程、生物、医学等各个领域的研究都出现了快速发展的局面。维纳和很多领域的科学家、工程师在研究的过程中迫切需要实现自动计算、自动控制和信息处理。从这些需求出发，以研究信息为中心问题，采用时间序列的预报理论和滤波理论中的维纳方法来处理信息的转换、提取、加工和预测，依赖于系统的传递函数和频率特征，以数理统计和调和分析为主要数学工具，维纳创立了经典控制理论。在核心的数学理论上，维纳采用吉布斯（J. W. Gibbs）在统计力学中处理的某些数学模型来描述控制理论的基本问题，这些表述至今依然在控制理论中占有中心地位。 作为数学家的维纳，将现代数学知识成功的应用到工程实际问题的理论分析与解决当中，创建了控制论，这本身就说明控制理论的诞生离不开数学的发展，离不开现代数学知识在工程中的成功应用。 2.2 现代控制理论的形成与发展 美籍学者卡尔曼（R. E. Kalman）在维纳工作的基础上，引进数字计算方法中的“校正”概念，吸取了20世纪50年代“最优化”的研究成果，在1960年国际自动控制联合会（IFAC）第一届大会上发表了《控制系统的一般理论》，之后又发表了《线性估计和辨识的新结果》，从而奠定了现代控制理论的理论基础。同时，前苏联学者庞特里亚金（Pontryagin）在最优化方面的研究成果（极大值原理）、美国学者贝尔曼（Bellman）在动态规划方面的研究成果也奠定了现代控制理论的理论基础。 现代控制理论的特点是：用状态空间法或时域法研究控制系统，对象多为多输入多输出（MIMO）系统，采用卡尔曼滤波进行最优状态估计，按照最优化的目标实现控制系统的设计，与动态规划有着密切的关系。 现代控制理论以泛函分析、随机过程、微分几何等现代数学知识为工具，在四十多年的时间里发展成为一门有坚实理论基础和广泛应用背景的学科体系，在航空航天、导弹制导、汽车和机器人控制以及电力、冶金、化工、机械制造等工业过程中得到了广泛而成功的应用。 2.3 智能控制理论的形成与发展 智能控制理论形成于20世纪60～70年代。1971年美籍学者傅京孙（King-Sun Fu）把智能控制概括为自动控制与人工智能的交集。1977年萨利迪斯（Saridis）提出“三元”交集概念，即智能控制是人工智能、自动控制和运筹学的交集。我国中南工业大学的蔡自兴教授提出了“四元结构”，把智能控制看成是自动控制、人工智能、信息论和运筹学的交集。 之后在20世纪80年代，智能控制的研究进入了迅速发展时期，相继出现了专家控制、模糊控制、神经网络控制等智能控制方法。20世纪90年代至今，智能控制广泛应用于工业过程控制、机器人控制、航空航天器控制以及故障诊断、管理决策等各个方面，取得了良好的效果。 可以说，智能控制的形成与发展，就是将控制原理与现代数学知识相结合的过程。模糊数学在控制工程中的应用促使了模糊控制的诞生，神经网络理论与控制理论的结合产生了神经网络控制……可以说，控制理论实际上正是伴随着现代数学的发展而发展的。 3 建模、控制与优化中的现代数学方法 建模、控制与优化是控制理论要解决的主要问题。在这些问题中，广泛采用了现代数学方法，使得控制理论的研究不断深入，取得了丰硕的成果。 建模是控制理论中所要解决的第一个问题。控制理论中的建模方法主要有两种，一是经验建模，二是根据物理规律建模。所研究的对象主要是动态模型，一般用微分方程或差分方程来描述，建模的过程中常常遇到模型辨识问题。从本质上讲，动力系统建模以及模型辨识问题都是要解决数学问题，所用到的数学工具包括微分方程与微分动力系统理论、微分流形、李群李代数、概率与随机过程、函数空间与泛函分析等。 设计控制系统是控制理论的核心内容。在线性系统中，我们所用到的数学工具是拓扑、线性群。在非线性系统中，我们用到了微分几何。可以说微分几何是非线性控制理论的数学基础。将控制理论拓展到无穷维系统，即分布参数系统中，可以看到我们用到了Lebesgue积分、Banach空间、线性算子等泛函分析的基本概念和工具。随着近年来控制理论的发展，李群李代数在量子控制中的应用、黎曼几何在解决变系统波动方程中控制问题的应用等，都体现了现代数学与控制理论的融合。 优化是控制的一个基本目的，而最优控制则是现代控制理论的一个重要组成部分。前面提到的庞特里亚金的极大值原理、贝尔曼的动态规划，都是关于优化和最优控制问题的。近年来，代数拓扑、代数几何方法不断应用于控制系统，在解决控制与优化问题上起到了很好的效果。特别是近几年“软计算”概念的提出，被广泛应用到控制过程的预测与软测量当中，为解决工业控制过程的优化提供了崭新的途径。 4 总结 控制理论学科，通常被视为一门应用数学学科。它的基本工具和手段是数学的理论与方法。同时，它对许多数学学科的理论也有着创造性的发展。有人说过：“一个优秀的系统与控制专家所应掌握的数学工具不应比一个数学家要少。”作为一名控制理论与控制工程学科的研究生，虽然不能同时掌握控制理论所有的前沿知识，但是必须要对不同的控制理论与控制方法有一个比较全面的了解。因此掌握扎实的现代数学基础知识尤为重要。必须打下良好的数学基础，才能在将来的理论研究和工程实践中做到得心应手，有所作为。 [search]现代数学 控制理论 作用[/search] [ Last edited by 雪海飘香 on 2008-1-21 at 15:13 ] |
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5楼2008-02-09 16:26:42
6楼2008-02-13 09:39:12
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3楼提到的那句话应该来源于科学版的书<从大学数学走向现代数学>,该书内容介绍中有如下的说法: 在国家自然科学基金委员会天元基金领导小组委托西安交通大学理学院举办的“西部与周边地区高等学校非数学类数学教师培训班”上，12位教授应邀联合开设了“从大学数学走向现代数学”的系列讲座，本书即为该系列讲座的集成，书中各篇从大学数学中的某些基本概念与原理出发，以简短的篇幅阐明这些基本概念、原理如何发展到近代数学的相关分支与内容，使读者能更清楚地了解大学数学与现代数学的联系，从而能从更高的观点和更全面的视角理解大学数学内容。主要内容包括：从代数运算到代数结构、从有限维空间到无限维空间、从函数到算子、从序列收敛到网收敛、从导数到广义导数、从Newton-Leibniz公式到Stokes公式、从Taylor公式到学习理论、从矩阵的特征值到算子的谱、从微分方程到动力系统、从随机变量到随机过程、从数学应用题到数学建模、从Stirling公式到积分的渐近逼近、从平坦的欧氏空间到弯曲的黎曼空间。全书各章内容自成体系。 本书可作为高等学校数学基础课程教师培训教材，亦可供高等院校数学及相关专业的高年级本科生、研究生和教师阅读。 |
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