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理论计算物理简介及前景
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1.什么是理论计算物理 理论物理与数学有很密切的关系。其实有许多数学是为了物理研究上的需要而发明的，例如牛顿的发明微积分。另一方面数学也让物理现象的描述变的非常简明而且容易从中得到基本的规律。例如电磁学中的马克斯威尔方程式（Maxwell equations）。在计算机发明以前，数学，尤其是物理数学或应用数学是理论物理学家所须具备的基本知识。這些數學讓廿世紀前的理論物理學家發展出許多重要及漂亮的理論，例如?h米頓（Hamiltonian）理論，這些理論讓物理學家?呐c牛頓力學不同的角度?砻枋鑫锢憩F象，也奠定了薛丁格（Schringer）量子理論的基礎。而空间函数傅利叶转换（Fourier Transform）之波的波向量（Wave vector）范围也导至海森堡（Heisenburg）的发现测不准原理（Uncertainty principle）。但这些漂亮及有用的数学在使用上有其基本上的限制。对于实际的物理问题，往往很困难得到解析解答（Analytical solution）。在计算机发明前，以及计算机功能还不大时，理论物理学家必须将实际的物理问题简化成可以用数学解析解的简单模型（Model）。这种方式可以获得定性上（Qualitative）的结果。如果模型选得对，也可以得到重要的物理知识。但是如果模型不正确，可能误导以后的物理研究及产生不正确的物理观念。 随着计算机的发明及计算机功能的快速成长，很多不能单靠数学得到解析解的物理问题，于是可以利用计算机数值的计算得到答案。理论计算物理因此开始发展。此处的「计算」是指使用数值计算器，即计算机的计算，不是数学解析的计算。由于数值计算器所处理及储存的数目有一定大小及精确度的限制，决定于二进制数目的位数数目，不能无限的精确，于是有数值分析及相关计算机程序的发展以做积分、微分、解微分方程、基本函数及特殊函数等的计算。在物理的应用上，由于许多计算方法是经历许多科学家的心血从计算机发明初期累积而成，计算机程序大多是用FORTRAN所写。 2.理论计算物理现况 理论计算物理的发展随着计算机功能的快速成长一直在进步演变中。计算方法也由着重于简单，参数化为主的方法慢慢走向以物理基本原理（或翻译成第一原理）（First-principles）为主的方法。毕竟，物理学家崇尚基本的物理原理。如这些物理原理是正确的话，由它们所得到的结果应该与实验结果相符合。如果理论结果与实验结果不符合，则这些物理原理本身或应用这些物理原理的方法仍有缺陷，应加以改进。套实验数据的参数，仍是物理学家要尽量避免的。但不使用套实验数据的参数要有代价，那就是这种理论计算往往需要相当长的时间。如果没有快速的计算机是办不到的。幸好，计算机的功能在速度及记忆容量上都发展很快速，到目前已有很多物理问题，例如半导体，简单金属，转移族金属、绝缘体等材料的电子能带结构及结构特性，这些材料的表面结构及化合吸附特性等问题，皆可用物理基本原理的计算方法得到答案。相对的，套实验数据的参数方法的应用则受到越来越多的困难。首先，实验数据是有限的，而且不是在任何实验环境都相同。例如参数方法最常套用的实验数据是大块固体（Bulk solid）的物理特性，包括电子吸收光谱，弹性系数、体积压缩系数 (Bulk modulus）等。虽然有不少物理学家将这些参数直接用于表面问题或界面问题的计算，但严格来说，是不可靠的。甚至会导至错误的结论。例如有物理学家曾用这种参数研究数种半导体（110）面的表面阴离子（Anion）阳离子（Cation）结合键的倾斜角度而得到倾斜角度与离子性（Ionicity）无关的不合理结论。其原因是在大块（Bulk）结晶里，由于对称性使每一阴离子或阳离子所受的库伦力完全抵消掉而不显现在被套用的实验数据里，当然会得与离子性无关的表面特性。但在表面上库伦力不完全抵消。 目前理论计算方法，可大致分成前面所叙述的物理基本原理（First-principles or abinitio)套实验数据的经验（Empirical or phenomenological)方法。一般来讲，后者用于较复杂的，对称性低，需处理非常多原子的物理系统。对这些系统以目前计算机的功能还不能用物理基本原理的计算方法来研究。例如次微米（Submicron）多层半导体组件（Device）的电子能带结构。物理基本原理计算方法所根据的是电子密度泛函数理伦（Density Functional Theory, DFT）。在此理论，电子与电子的交互作用经证明可以用一个单一电子的有效位能来代替。此位能包括所有电子所产生的库伦位能以及由于电子的自旋量子数是1/2所产生的交换－相干位能（Exchange-correlation potential）。在实际的计算中，常常使用局部电子密度近似法（Local Density Approximation, LDA）来处理交换-相干位能。LDA己知会低估（Underestimate）半导体的能带间隙（Energy gap）。目前已有电子密度梯(Gradient）及电子自我能量 (Self-energy）等修正计算使能带间隙很接近实验值。除这个缺点外， LDA经过廿几年的应用证明是得到各种材料的电子能带结构及结构特性的，靠方法。 电子能带结构及总能量的物理基本原理计算方法大致可以分成三类。 一是物理基本原理的虚位能（Pseudopotential）方法，也称做电子数守恒虚位能方法 (Norm-conserving pseudopotential method）。这类方法又因基础波函数（Basis wavefunctions）的选用不同分成波向量空间（G space）及实际空间（Real space）方法，前者的基础波函数是平面波（Plane waves) 而后者的是具虚位能之虚原子的球面波。第二类是应用安德森（O.K.Andersen) 之线性理论（Linear Theory）的方法。在以數值方法解薛丁格（Schringer）微分方程式時，波函數的解決定於所猜試的能量。此猜试的能量必须一再的调整，非常耗时间。线性理论是将波函数相对一个能量参数展开成泰勒级数（Taylor series）至一次项（线性项）。这样只需针对能量参数解波函数及波函数相对能量微分的导来式解波函数。这两个函数经证明是线性独立的，因此薛丁格方程式的一般解是这两个线性独立函数的线性和。此能量参数可选择为电子能带的平均值。这类方法有1线性的调适平面波（Linear Augmented Plane Wave, LAPW）方法。顾名思义，此方法以平面波为基础波函数。 二是线性原子球轨道（Linear Muffin-Tin Orbited, LMTO）〔注〕方法。这个方法使用原子球轨道为基础波函数。这种轨道波函数在原子球外是球面汉克尔函数（Spherical Hankel function），这是指数函数下降的函数。但应用于大块结晶及表面时，指数函数的参数选为零。这样可以大量利用数学的推导使计算变的简单及快速。这个方法有一个更简化的方法称为原子球近似法?br> ]Atomic Sphere Approximation, ASA）。在此简化方法，原子球可以重迭以避免原子球间（Interstitial ）困难计算的区域。 三是虚波函数（Pseudofunetion, PSF）方法。此方法类似LMTO方法，但除了球面汉克尔函数的基础波函数外，多一组球面纽曼函数（Spherical Neuman function) 的基础波函数。球面纽曼函数是波状的，用以描述能量比原子间位能高的电子状态。这是比LMTO的较完整的一组基础波函数，因为球面汉克尔函数只对应能量比原子间位能低的电子状态。所谓虚波函数只是数学上的技巧，用来增快汉米顿矩阵单元的计算。所有这三种方法在原子球内，都将球外的基础波函数平滑的延伸成安德森线性理论的薛丁格微分方程式的解。第三类是原子轨道线性组合（Linear Combination of Atomic Orbital, LCAO）方法。原子轨道也有用高斯函数轨道（Gaussian orbital）或史雷特轨道（Slater orbital）取代的。以目前计算机的功能，所有这些物理基本原理计算方法都能将电子的有效位能算的很准，早期球面对称位能近似算法，已没有必要。因此所有这些方法的主要差异在于基础波函数。 前一节所叙述的方法在于计算静态的问题，即原子是静止不动的。而且在计算之前须先假定或预知所有原子的位置。但在许多实际的物理问题，尤其是固体表面的问题，原子的平衡位置往往不能预先知道。另外知道原子如何在固体表面或内部运动也是非常重要的物理问题。因为前者涉及半导体薄膜结晶的成长，生产化合物的触媒反应等，而后者决定P－型及N－型半导体的杂质位置，固体材料被气体原子渗入的结构脆化等问题。有关动力问题的计算有称为分子动力（Molecudar dynamics）的计算方法。这个方法先算每一个原子所受的力，然后以数值方法解牛顿的运动方程式以预测原子经一小段时间，△t，后?br>?位置及速度。将原子的位置及速度换成新的以后，再计算所受的力，再预测新的位置及速度。这样就可一步一步的得到原子的位置及速度与时间的关系。从位置与时间的关系，可知原子的运动路径。从速度与时间的关系则可得振动频率。如用能够显现图形的计算机显现原子的位置时间变化，然后用摄影机拍摄成电影，就可很方便的用电视机及录放机，清楚的看到原子的运动。这种功用在研究触媒如何媒介化学反应，制造半导体，钻石薄膜时原子如何被吸至表面，如何在表面移动，最后停在表面上非常有用。 由力去解运动方程式，有一些基本的数值计算计算机程序。不同的方法差别在于如何得到作用力，力的计算大略分为经验方法（Empirical or phenomenological)及物理基本原理（First-principles）方法。经验方法是用双原子间位能(Pair potential）来计算原子所受的力。这种方法只考虑每一对原子间有一个固定的，只决定于两原子间距离的位能。将此位能相对原子位置微分就得到另一原子对此原子所作用的力，将所有其它原子所作用的力如起来就是决定这个原子的加速度的力。这是一种最简单的计算，但太浮滥使用会得到错误不可靠的结果。两原子间的位能严格来说不是独立的，一定会受到其它原子的影响。原因很明显；两原子间的位能决定于原子里电子的分布，而当有第三个原子在邻近时，一定会改变原子里电子的分布。这种现象在共价键的固体里尤其明显。因此双原子间位能或任何固定形式的位能不适用于共价键物理系统。以物理基本原理计算方法计算力的分子动力方法，历史很短。力的计算是根据赫尔曼-费因曼（Hellmann-Feynman)的理论或改变过的方法。使用原先的理论，电子的波函数包括其对称性必须算的非常准，这在实际的理论计算中很难做到。目前用的是一种改变过的方法，即力是得自系统总能量相对原子位置的微分。总能量的计算可用前面所叙述的电子能带结构及总能量的计算方法中的一种来计算。分子动力方法外另有一比较特别的方法，用以计算原子的平衡位置称为动力的仿真回火方法（Dynamical simulated annealing）为卡尔及巴利尼罗（Car and Parrinello）所发展。这个方法，将解电子能带结构，原子的移动及晶格常数一齐完成。所用的计算方法是波向量空间的虚位能方法。计算原子的平衡位置及动力仿真的方法还有蒙地卡罗（Monte Carlo）的计算方法。这种方法用一个任意数产生程序（Random number generator?br> 产生任意的原子位移，然后利用统计力学理论计算这一组原子位移的或然率。 以上所叙述的理论计算方法，可以得到各种材料的电子能带结构，原子的排列（即结构特性），原子运动等数据。如果与实验漪膍s相配合，可以达到相辅相成的效果。理论的计算可以帮助实验物理学家解释所得实验数据，而实验的结果亦可用来确定物理基本原理及其应用方法的可靠性或显现出其缺点而加以改进。 3.理论计算物理的远景 目前理论计算物理的应用仍受到计算机功能的限制。尤其是使用物理基本原理的计算方法。能够使用的物理体系模型仍与实际的物理体系有相当大的差别，例如半导体数百至数千原子厚的磊晶，触媒里半径约为10-2微米的白金（Pt）或铑（Rh）的金属粿粒等。但现在能够研究的问题比起十年前的已经增加了非常多。例如使用高度平行处理（Parallel processing）的多处理机（Processors）计算机已经可以计算硅（111）7×7这么复杂的表面。随着计算机功能的快速成长以及计算方法的不断改进，可以预期在不久的将来，可靠性高的物理基本原理计算方法将能够使用很接近实际的物理系统的模型，因此能更真确的模拟实际的物理现象。 由于实验研究往往需要用到昂贵的实验仪器以及材料，有时候实验的样品也很不容易获得，更有许多实验需要用到高度污染或有剧毒的药品或材料。这些实验如用理论计算的模拟来取代，将可以节省很多研究经费，减少许多环境的污染，以及缩短得到答案及结果的时间，因为实验研究没有理论研究的配合，往往用猜－试－错了－再猜试（Try and error）的步骤。当然，实验研究还是必须的，尤其是在最后一步要进入实际应用的阶段。但理论计算的模拟可以做为前期评估及将实际研究导入正确的方向。所以，随着计算机功能的急速增加，理论计算研究将越来越重要。 |
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