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feitian1234木虫 (正式写手)
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一组Hurwitz矩阵的凸组合是Hurwitz吗？
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| 给定一组Hurwitz矩阵(特征值小于0) A1，A2，...An,它们的凸组合m1A1+m2A2+....+mnAn是Hurwitz矩阵吗？其中，m1+m2+....+mn=1, m1,m2,...mn>=0.若是，希望给出证明，若不是，请给出反例。 |
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2楼2014-01-06 14:17:37
feitian1234
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3楼2014-01-06 16:07:24
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feitian1234(feixiaolin代发): 金币+10, 代楼主发 2014-01-07 11:52:24
feitian1234(feixiaolin代发): 金币+10, 代楼主发 2014-01-07 11:52:24
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注意到 arctan(10) = 84.29度， 所以可以取到正实数使得 a=10*Cot(80 deg)-1, b=10*Cot(75 deg)-1, c=b=10*Cot(70 deg)-1, A=10*Cot(20 deg)-1, B=10*Cot(15 deg)-1, C=10*Cot(10 deg)-1. 令w=1+10i, 因此有正实数 d 使得 (w+a)(w+b)(w+c) + d*(w+A)(w+B)(w+C)=0. 取f(z)= (z+a)(z+b)(z+c), g(z)=d(z+A)(z+B)(z+C), 则 1/2*f + 1/2*g 以w为其中之一零点。 因此多项式对应的Hurwitz矩阵的凸组合(1/2, 1/2)不再是Hurwitz矩阵。 |
4楼2014-01-07 00:15:17
feitian1234
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5楼2014-01-07 11:00:57