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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 怎样证明直线与平面的夹角的最小值一定是垂直的那条线所成的角
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ghw_nit

铁杆木虫 (正式写手)

[求助] 怎样证明直线与平面的夹角的最小值一定是垂直的那条线所成的角 已有2人参与

如图所示，怎样证明这个问题呢，看着是比较明显的，怎样用数学的语言严密的说明这一点呢？
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    • 2013-12-30 09:55:59, 960.05 K

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1楼 2013-12-30 09:56:44
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
用向量表示直线 A=i*u+k*v
     平面上任一直线 B= i*m + j*n                  
对A, B作模值归一化，取点乘极大值-----等价于角度最小。
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2楼2013-12-30 13:17:09
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
ghw_nit: 金币+5, ★★★很有帮助, 如果是n维空间上呢，也类似么？我还得消化一会 2013-12-30 19:27:42
楼主的意思就是直线与平面中任何直线的夹角的最小值即为它与平面法线的夹角。
证明：
    设P（x0,y0,z0)是直线L和平面π的交点，Q（ξ，η，ζ）为平面π上任一个不与P点重合的点，L的方向矢量为{p,q,r},平面π的法向矢量为｛l,m.n｝,则L与PQ直线的方向余弦Cosα为：
    Cosα=｛p*(ξ-x0)+q*(η-y0)+r*(ζ-z0)｝/
        /{sqrt{p^2+q^2+r^2}*sqrt{[ξ-x0]^2+[η-y0]^2+[ζ-z0]^2}}
     将Cosα对ξ、η、ζ分别求偏导数并令之为零，得到三个含ξ、η、ζ方程，解之即可得到使Cosα获得极值的点的坐标值R（ξ*，η*，ζ*）。再证明直线L与直线PR以及平面π的法线共面，也就是证明R（ξ*，η*，ζ*）在直线L与平面π的法线组成的平面上，问题便可得到证明，而这在数学上已没有困难了。

证明完毕。
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3楼2013-12-30 14:57:47
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