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[交流] 【转帖】辛空间世界

辛空间世界

作者：Robert McLachian

原题: The world of symplectic space.
译自: New Scientist 19. March 1994, 32--35.

在遥远的未来太阳系将呈现什么景象? 冥王星和海王星会相撞吗? 地球在所有其他
行星万有引力的共同作用下会不会进入不同的轨道? 你也许认为通过计算很容易
得到这些问题的答案. 只须利用牛顿运动定律为计算机编制一个程序,告诉它行星
现在的位置, 然后就可以等它算出太阳系未来10亿年的景象. 对吗?

不对. 对于这样复杂的计算, 几乎可以肯定, 计算机会得出错误的答案. 这不是
计算机的错误, 甚至也不是为计算机编制程序的人员的错误. 问题在于计算机用
一系列瞬间来代替现实的时间. 因而计算机进行的计算并不是绝对精确的, 它只能
为我们提供一幅现实世界未来景象的近似图画. 通常情况下, 误差小得不引人注意,
但用计算机模拟行星围绕太阳的运动而进行如此规模巨大的计算时, 每一步极小的
误差会积累起来而使最后的结果面目全非.

\sec{迷惑重重}

误差是不可避免的,因为描述太阳系的方程如此复杂, 对它的精确解人们连尝试都
无从下手. 当误差系统积累, 甚至更糟, 当误差变得浑沌无序时, 问题就出现了.
如果发生这种情况, 计算结果中的误差将不仅很大, 而且也不可预测. 它们会导致
违反物理定律的结果----例如, 在极端情形, 行星会旋进太阳, 或凭空获得能量
而旋离太阳系进入太空.

这些误差会影响每一个计算机模型, 但是它们的影响不引人注意, 因为通常计算的时间很
短, 从而防止了误差的巨大积累. 如果模拟的时间足够长的话, 甚至单摆也会像螺旋桨
一样摆动.

数学家们发现, 如果计算机模型不是建立在我们熟悉的三维空间运动定律的基础上,
而是建立在一个称之为辛空间的大得多的数学世界的几何定律的基础上, 他们就可以避免
这些问题. 我们所理解的我们空间中的运动可以表示为十分不同的辛空间世界的纯几何.
这种几何提供了一种用数学描述运动的效率高得多的方式: 虽然它不能阻止计算机产生
误差, 但它却能保证, 无论产生什么样的误差, 最终的结果在物理上是合理的.

辛空间中的几何定律通过称之为辛积分的数学工具得到应用, 辛积分就是计算机
可以用来对现实系统浑沌而复杂的方面进行可靠模拟的简单公式. 辛积分已帮助科学家
们对晶体点阵中数以万计的原子之间的作用力建立了模型, 并成功地预测了材料的诸如
强度, 振动方式等性质. 晶体点阵是一个非常复杂的系统, 通常的方法是无法进行可靠
的处理的.

全文见数学译林

[ Last edited by laizuliang on 2007-12-25 at 12:45 ]

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