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1楼 2013-12-02 22:04:55

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信彼南山

木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

dv/dt = -mg - k*v^2

解微分方程就是了么
需要给出抛出点的高度h，抛出的初速v0，以及阻力系数k

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2楼2013-12-02 23:27:47

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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
华丽的飘过: 金币+10, 3q 2013-12-04 00:12:57
再来一程: 金币+5, 此题已解决，谢谢您的帮助。前几天实习，没时间回复，在此说声抱歉。 2013-12-08 11:21:54

求解过程：
本题的求解要分为上升和下降两个方面，他们各自有各自的方程和初始条件。设物体的质量为m，速度为V，位移为H，阻力系数为k,则由题中已知条件可得以下推导过程：
（1）上升阶段：
由牛顿第二定律：m*dV/dt =-m*g- k*V^2 ,初始条件为t=0时，V=V0，H=0。
Arctg{sqrt[k/(m*g)]*V}=C-sqrt{k*g/m}*t
将t=0时V=V0代入上式，C=arctg{ sqrt[k/(m*g)]*V 0}
故V=dH/dt={V0-sqrt(m*g/k)*tg[sqrt(k*g/m)*t]}/{1-V0*sqrt[k/(m*g)]*tg[sqrt(k*g/m)*t]}
令u=tg{sqrt[k*g/m]*t/2}
则：tg{sqrt[k*g/m]*t}=2*u/(1-u^2) ,dt=2*sqrt[m/(k*g)]/(1+u^2)*du
另外注意到，被积式子可以使用代数的知识分解为：
2*Sqrt[m/k*g]/(1+u^2)+4*[V0^2-m*g/k]/g*{(α*u+β)/(1+u^2)
+γ/{sqrt[1+k*V0^2/(m*g)]-{u+sqrt[k/(m*g)]*V0}}
+δ/{sqrt[1+k*V0^2/(m*g)]-{u+sqrt[k/(m*g)]*V0}}}
其中的α、β、γ、δ均可通过待定系数法确定。将其代入积分中，得到：
H=V0*t+4*[V0^2-m*g/k]/g*{-1/2*a*Cos[sqrt(k*g/m)*t]+1/2*β*sqrt(k*g/m)*t
+γ*Ln{sqrt[1+k*V0^2/(m*g)]-sqrt[k/(m*g)]-tg[sqrt(k*g/m)/2*t]}
+δ*Ln{ sqrt[1+k*V0^2/(m*g)]+sqrt[k/(m*g)]+tg[sqrt(k*g/m)/2*t]}} + D
将t=0时H=0代入上式
D=4*[V0^2-m*g/k]/g*｛a/2-γ*Ln{sqrt[1+k*V0^2/(m*g)]-sqrt[k/(m*g)]}
-δ*Ln{ sqrt[1+k*V0^2/(m*g)]+sqrt[k/(m*g)]}}
D代入H的表达式即可完全确定物体上升阶段的位移随时间变化的情况。
令V=0，解出:
t*=sqrt[m/(k*g)]*arc{V0*sqrt[k/(m*g)]}，
将t=t*代入H的表达式，即可求出物体上升的最高高度H*。
(2) 下降阶段：
方程：m*dV/dt=m*g-k*V^2 ，初始条件为：t=0,H=H*，t=0时V=0
1/2*Ln{{1+sqrt[k/(m*g)]*V}/{1-sqrt[k/(m*g)]*V}}=sqrt(k*g/m)*t+E
将t=0时V=0代入上式，得到：E=0
故有：V={exp{sqrt[k*g/m]*t}-1}/{exp{sqrt[k*g/m]*t}+1}*sqrt(m*g/k)
由V=dH/dt ，并令u= exp{sqrt[k*g/m]*t}，dt=sqrt[m/(k*g)]*du/u
H=m/k*{2*Ln{1+exp[sqrt(k*g/m)*t]}-sqrt(k*g/m)*t} + F
将t=0,H=H*代入H的表达式，得到：F= H*- 2*Ln2*m/k
将F代入上式，得到下降阶段物体高度与时间的关系：
H= m/k*{2*Ln{1+exp[sqrt(k*g/m)*t]}-sqrt(k*g/m)*t} + H*- 2*Ln2*m/k
令上式中的H=0，求解出t=T，即t=T时物体落回地面。将t=T代，得到物体落回地面时的速度V**。

解题完毕。

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3楼2013-12-03 23:21:45

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