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csfn

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[资源] 【学术讲坛】一维非线性量子晶格中的动力学

在过去二十年中，经典和量子一维原子和分子晶格模型的研究对凝聚态物理基础理论发展的贡献，以及对一维和准一维材料的应用和潜在应用前景的预言的贡献是非常引人注目的。在这个研究领域中，有很多重要的物理体系和热点的研究问题，例如：导电高聚物的研究(1-2)，和随着纳米技术的发展，纳米线体系的制备和研究(3) ，以及源于物理学家对生物的兴趣，多肽链中能量的储存和输运(4)和DNA链中的一些动力学问题(5) 等。研究涉及处理非线性，多体量子问题，电子和晶格的相互作用，电子和电子的关联等物理学中具有挑战性的课题。以下，我们从四个方面简要介绍这个领域的一些研究情况和重要结果；同时也介绍一下我们对一些问题的粗浅想法。

一维经典体系中的空间局域模式：经典的一维原子、分子晶格模型有很多，其中最简单而又有非常明晰和重要物理背景的是Fermi-Pasta-Ulam（FPU）模型和Frenkel-Kontorova（FK）模型。FPU模型是描述由一系列周期排列的原子（或分子）通过非谐相互作用耦合而形成的一维简单晶格(6)。FK模型则是描述一维简单原子（或分子）晶格通过简谐相互作用耦合并受到周期格点势（on-site potential）的作用(7)。众所周知，对FPU链中动力学行为的研究导致了“孤立子”的出现。现在我们知道孤立子在很多领域中的连续介质体系和离散体系中广泛存在(8)。Remoissenet给出了一种理论框架来得到上述这两个模型中的传播孤子(9)。Sievers和Takeno在研究FPU模型时提出了内禀局域模式（intrinsic localized mode）的概念(10)，引起了人们极大的兴趣。现在，我们已经清楚，内禀局域模式在非线性离散晶格动力学体系中普遍存在，并且有多种解析形式(11)。

通常，除了Toda 晶格和Ablowitz-Ladik模型，包括FPU和FK模型在内的很多一维离散晶格模型都是非可积的。一般都是通过各种“准连续近似”途径将离散动力学方程连续化(9-13) 。“准连续近似”的方法虽然已提出了很多，不过，我们认为还可以基于不同的物理考虑提出新的方法，从而给出新的孤子解。这里，介绍一个源于我们研究光纤过程中产生的有趣的想法，我们知道，皮秒脉冲在光纤中传播满足非线性薛定谔方程，而飞秒脉冲在光纤中传播满足高阶非线性薛定谔方程。值得庆幸的是，高阶非线性薛定谔方程在很多情况下也是可以严格解析求解的(14)。在至今所有FPU和FK模型的“准连续近似”中，都只保留到二阶色散和一阶非线性，从而导出非线性薛定谔方程。考虑高阶色散和非线性同样是很有意义的，这样将会导致新的准连续近似方程——高阶非线性薛定谔方程，从而给出晶格中新的孤子解。当然不能期望这样做能在体系中出现全新的动力学行为，不过这种高阶孤子解由于近似程度更好，能在经典晶格中存在更长的时间。非常重要的是：我们认为这种高阶孤子解将为用量子波包动力学研究量子FPU和FK模型的初始条件的给定提供更好的基础。此外，在一定的物理条件下，经典FPU和FK模型中考虑高阶色散和非线性甚至也是非常必要的。

   一维量子体系中的空间局域态：对原子和分子体系的经典描述和研究虽然是很重要的，但缺乏微观的描述显然是不够的。与经典模型相应的量子模型中的空间局域化现象的刻画，以及空间局域态的构造和动力学是一个至今没有得到很好解决的问题。众所周知，量子力学中的薛定谔方程是一个线性问题；因此，一般认为不能期望在这种问题中找到空间局域态。通常，期望量子体系中的结果在经典极限下和相应经典模型的结果相一致又是合理的。这样，建立一种适当的物理图象来实现量子和经典物理量的联系是至关重要的。Bishop等人(15)以FK模型为例，利用数值对角化和计算格点位移的关联函数的方法间接显示了量子FK模型中存在空间局域化现象。可是，他们并没有试图去建立一种明晰的刻画方式和相应的理论分析方法。

将经典简谐晶格量子化而给出声子哈密顿量的方法叫做正则量子化方法。声子，作为晶格集体振荡模式的量子化结果，可能天生就不适合用来描述这种空间局域化现象。Konotop等人在试图保留声子算符的情况下，定义了赝场算符，在弱耦合非线性晶格中，利用这种改进后的量子化方法，他们给出了刻画量子非线性晶格中包络孤子的一种复杂的方法(16)。从理论分析的角度来看，Davydov模型的建立是很有启发性的，它提供了一种能量在分子链中储存和输运的物理图象、及其理论分析的方法(17)。Davydov认为ATP分子水解释放的能量转化为多肽链中酰胺-I键的振动能量，形成链中一种基本的振动能量量子。这里，我们要特别强调的是，这是一种格点能量量子。考虑单量子的情况，通过Davydov变化和一些物理近似可得到多肽链中的薛定谔孤子。尽管Davydov模型在理论上获得了巨大的成功，它仍然存在两点不足：１，它是一个唯象模型，借用Frohlich哈密顿量，赋予了它新的物理意义。２，格点能量量子和晶格运动共存。Scott等人在对一些哈密顿量的处理中正是借用上述这种物理图象。他们假设一种基本的玻色子可以自陷（self-trapped）在某个格点上，这类似于多肽链中的能量量子自陷在酰胺-I键中。他们提出了一种 “数态方法”（number state method）(18)，实际上就是建立了一种占据数表象。在这种表象中，在几率的意义下体现出空间局域化。数态方法是一种量子图象很清晰的方法，这种方法很遗憾至今没有用于一些具体的，重要的物理体系。

可以看出，抛弃声子，引入格点能量量子是刻画和研究量子空间局域化的关键。我们认为，要彻底解决这个问题，提供一个清晰的，完整的物理图象，必须在将晶格的多粒子哈密顿量进行二次量子化时引进格点能量量子。以下，我们称之为格点振子。

空间局域态的量子波包动力学：薛定谔曾经梦想能构造一种量子波包，波包的中心沿着经典的轨道运动。他只在谐振子势中成功了，这种情况下的波包就是我们熟知的相干态。此后，寻找量子不扩散波包的努力一直未曾停止过(19)。经典分子动力学是研究多粒子体系中动力学行为的一种普遍使用的方法。它致命的缺点是完全忽略了量子效应，而量子效应在很多分子体系中是至关重要的。严格的全量子力学计算目前至多只能处理四原子体系。利用波包来描述体系中的粒子，再采用Hartree近似（在很多体系甚至是严格的），多体薛定谔方程的计算可以大大地简化，这些波包中心的运动给出量子动力学中“轨道”的详细信息(20)。大时间尺度下，有些体系中的波包可能会严重地弥散，即使这样，在有限时间尺度内，也能给出这些体系中很有价值的信息。我们开始就相信在晶格中波包不太可能会严重地弥散，大量的数值模拟证实了这一点，这样，我们认为量子波包动力学方法实际上为研究非线性晶格中的空间局域态提供了一种有力的工具。只可惜这种在量子化学和团簇物理研究中普遍采用的方法很少用在晶格动力学的研究中来。

在量子FK模型的基态研究中给出了一种刻画量子和经典对应关系的数值方法。通常，先构造一种Hartree型的多体波函数，单体基函数可以使用Jackiw-Kerman型的(21)，也可使用相干态（构成集体相干态）(22)，基函数中的一些参数具有经典的意义。利用多体波函数对哈密顿量作平均，然后运用Dirac含时变分原理得出这些参数所满足的方程，利用数值方法求解可以知道基态的构象。我们称这种方法为“量子波包变分法”，它可以用于计算很大的体系。关于这种方法的应用，在单体基函数的构造上有很多值得进一步改进和探索的地方。

最后，关于一维量子晶格体系中空间局域态的研究，我们有必要指出的是，空间局域态所对应的宏观固体性质是今后有待研究者努力开拓的未知领域。

晶格中的电子：研究电子与晶格振动、以及一些局域形变（deformation）之间的相互作用是凝聚态物理中的一个很基本和重要课题。在具有简谐相互作用的简单晶格中，经典的固体理论中有发展成熟的电—声子相互作用理论；在分子晶体中，电子与晶格形变之间的相互作用问题通常也可以利用极化子（polaron）理论来处理。在众多的模型中，Holstein模型在研究分子晶体中极化子的形成和动力学行为中被广泛采用。最近，在电子晶格强耦合的情况下，有人开始注意到讨论非谐Holstein模型的必要性(23)。

共轭高聚物（conjugated polymer）链是一类具有重要应用前景的一维有机导体和半导体(2)，在针对聚乙炔的研究中，提出了著名的Su-Schrieffer-Heeger （SSH）哈密顿量(24)，链中孤子和极化子的形成，及其动力学等问题得到了很好的理解。SSH模型也被广泛用于其它一些体系的研究中，例如：电荷在DNA链中的长程输运(25)等问题。此外，最近提出的在SSH哈密顿量的基础上引入链间跳跃（interchain hopping）几率(26)的耦合链模型，体现出更复杂的动力学性质，为共轭高聚物的研究提供了新的课题。我们认为，在SSH哈密顿量中的格点部分考虑非谐相互作用、以及在π电子部分的相互作用能展开中保留至非谐项有一定的必要性，是对SSH哈密顿量的一种很有意义的推广。

我们认为：研究电子与晶格的相互作用还可以用一种近似的刻画方法研究电子的行为。经典的研究结果显示空间局域模式是非常坚实的(11)，在相应的量子体系中这种大尺度（large scale）的量子状态形成后，可以合理地假设在电子晶格弱耦合的情况下电子的加入并不会显著改变这种量子状态，考虑电子在晶格的这种量子状态中的运动无疑也是很有意义的研究问题。当然，一个完全解决的方案应该是从经典的哈密顿函数出发，二次量子化给出包含我们前面定义的格点振子和电子的产生和消灭算符的哈密顿量。

总结：自然界中存在大量的一维离散晶格体系；并且，纳米制备技术的发展预示着不久的将来很多人造一维离散纳米线体系和分子、原子线体系的出现。由于对一维体系的直接实验观测目前非常困难，而很多一维体系中的问题在解析和数值两方面的处理都具有很好的可解性，理论研究和数值模拟在现在和将来都是一种重要的手段。一维体系一些独特的性质使其具有潜在的和重要的应用前景，低维凝聚态物理也一直被列为各国科学研究的重要研究方向之一，我们以上介绍的这些模型和问题仅仅是我们在一个小的分支中摸索和思考多年所得，不过，我们相信这些问题的研究对阐明一些物理机制，丰富凝聚态物理理论，对新现象的预言和应用具有积极的意义。

主要参考文献
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(5) V. D. Lakhno, J. Biol. Phys. 26, 133 (2000)
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(7) O. M. Braun and Yu. S. Kivshar, Phys. Rep. 306, 1 (1998)
(8) R. Camassa, J. M. Hyman and B. P. Luce, Physica D 123, 1 (1998)
(9) M. Remoissenet, Phys. Rev. B 33, 2386 (1986)
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(12) Yu. S. Kivshar and M. Peyrard, Phys. Rev. A 46, 3198 (1992)
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(15)  W. Z. Wang, J. T. Gammel, A. R. Bishop and M. I. Salkola, Phys. Rev. Lett. 76, 3598 (1996).
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(17) A. Scott, Phys. Rep. 217, 1 (1992)
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(20) N. Makri, Annu. Rev. Phys. Chem. 50, 167 (1999)
(21) C. L. Ho and C. I. Chou, Phys. Rev. E 63, 016203 (2000)
(22) G. P. Berman et al, Phys. Rev. B 56, 11518 (1997)
(23) N. K. Voulgarakis and G. P. Tsironis, Phys. Rev. B 63, 014302 (2000)
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