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怀念蔡元培

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[资源] [学术讨论]关于分形理论的简介和探讨

关于分形理论的简介和探讨

[原创]

首先非常感谢Fenghbo斑竹和Csfn版竹在论坛所做的努力,为我们大家创造出这样一个物理和交叉科学的交流平台

,也非常希望大家能参与讨论交流.

Mandelblot 在70年代提出了分形几何的思想。传统欧几里德几何研究对象是类似圆、立方体等规则物体，具有几何对称性，维数为整数，物理过程都是建立在此基础上。但自然界同样存在着很多复杂、貌似不规则的物体, 河流、水系、地形貌、云彩、土壤等。这些不规则的物体，是传统几何学无法处理的。在这些不规则的物体后面，蕴含着新的规律：标度不变性（指数特征），即在不同尺度下观察，符合分形特征的物体具有尺度上的对称性（递归性），其维数为分数,它是自然界中很多复杂物体的一种抽象。其中发生的物理规律也发生了变化。分形结构内的物理过程，如温度的传输、物质的扩散等，都可能与标度不变性、几何不对称性等这些特点相关联。需要注意的是，传统上处理这些物理过程都视其为连续可导，但现在并不回避其中的跃变或转折过程，即连续却不可导的过程。

　　
理解分形理论的关键是：以海岸线为例, 其测得的长度与测量的尺子大小相关联, 当尺子越来越精确时, 由于海岸线的微小细节的不断显现，总的长度并不会如通常想象的那样趋向一极限值, 而是在不断增大, 所测长度和尺子最小精度之间呈指数(即海岸线的分形维数)关系。分形结构中的物理量和尺度之间呈指数关系，而不是线性关系，正因如此，分形结构与非线性效应息息相关。这就使我们需要考虑不规则表面的“局部跳跃”（几何形态的奇异性），其中发生的物理过程，如物质和能量的输运等，也会出现“局部跳跃”, 不能简单被平均化（homogeneralization）。

这种“细节的考虑”对问题的思想观念产生了变化，在近代物理学，其实也是屡见不鲜。比如混沌理论的初值敏感性的发现，使因果观念发生了奇妙的变化。我们来看看究竟是怎么回事？
如果说Ａ→B, 即Ａ是Ｂ产生的原因。但是仔细分析一下，这种说法实际上隐含：
(Ａ＋δA) → (B＋δB),即A的微小改变对Ｂ不会造成更大数量级的扰动.但是混沌理论的初值敏感性现象的发现，却使上述因果链失效(Ａ＋δA) → (Ｃ)，即A的微小改变，得到的结果不再是Ｂ，也不是围绕Ｂ上下的小涨落，而是新Ｃ，结果完全改变。
分形思想对因果思想的改变也可用上述过程来分析，只不过是它的舞台是在空间上（其实分形后来也被应用于时间序列问题中）。

分形理论首先对地理学的观念发生很大的改变, 由于海岸线或者流域面积属于自相似嵌套的组织结构, 那么地域的面积和河长需对应一定的地图比尺, 否则就缺乏物理意义。这一步似乎与物理没有什么关系，但是人们后来发现，材料的表面粗糙度与之相关。“显微地貌学”早就发现通常材料的表面是“崇山峻岭的地形”，但先前物理学和应用科学中认为材料的粗糙度可用平均值和方差来表示，但是，这种粗糙度定义已显现出不足之处，分形理论的产生，使得误差分析的内涵更为丰富。

这里首先介绍分形理论中常用的一些关键概念，如反常扩散、Levy分布等。

单一的分形维数往往很难完整地描述特定材料复杂的内部形态，因而就需要不同的分形维数，比如说表面分形维数，随机行走的曲线分形维数，孔隙分形维数，质量分形维数等等，这些分形维数之间可能是相互关联的，也能是独立的。这些分形维数分别从不同角度来描述材料的结构，对于一个具体问题，要分析哪些分形维数对具体问题起主要作用，然后才能建立合适的模型。

(1)分形布朗运动

布朗运动（无规行走）在物理、化学中起着重要作用，它是一个与时间有关的随机分形。如果说上述多孔介质在空间尺度上存在标度不变性，那么布朗运动可以看作在时间尺度上存在标度不变性。
在欧几里德空间，根据随机行走理论，布朗粒子的扩散分布函数是高斯分布。.
物质粒子在欧几里德空间的平均扩散距离r2(t)与时间成正比；而对于分形结构，物质粒子的平均扩散距离r2(t)与时间呈幂律关系，其指数是Hurst数的两倍。因此对于欧几里德空间的布朗运动，H=0.5, 当H≠0.5时，这时就有依赖于时间的记忆效应产生。

时间相关统计分析表明：
（Ａ）如果布朗运动是由一个独立的随机行走过程生成，即它过去的行为不影响它将来的行为（亦可称之为正规布朗运动），那么Hurst数是等于0.5；
（Ｂ）当H>0.5时，存在正效应，它的特点是过去有增长的趋势，在一段时间里，将来也会仍然保持这种增长,除非是某种外部因素改变了这种增长趋势，这种模型比较好地描述了洪水年时间序列;同样，反之，如果是过去有减弱的趋势，那么未来一段时间也会保持这种减弱趋势；
（Ｃ）当H<0.5时，这时的效应是负的，过去的突然增长倾向将会造成未来的减弱趋势，具有强烈的负时间相关效应.

如上所述，粒子在空间的扩散规律也和Hurst数有关，这具体表现在扩散系数上（Ｄ∝( t^ (2H-1) )，

（Ａ）H=0.5时的扩散为正常扩散；
（Ｂ）H<0.5时的扩散称为亚扩散（Sub-diffusion），扩散过程很慢，发生在无序介质和联结性很差的介质中，包括逾渗过程（percolation process）．蚂蚁在迷宫中的随机行走过程也可视为这类分形布朗运动；
（Ｃ）H>0.5时的扩散称为超扩散（Super-diffusion）, 在自然界中也很多，比如湍流扩散，流体微团的步长可以很长，扩散过程很快，在下面介绍的Levy运动属于这种类型。

分形结构中的随机行走过程有很多类型，如果假设粒子作正规布朗运动，像一个“没有记忆力的醉汉”所为，其过去的运动和现在没有关联，粒子的步长很短，根据随机运动理论可以得到粒子扩散密度函数满足高斯分布，也是通常所讲的Fick扩散。但近来在自然界一些现象，比如在湍流、一些群集动物的觅食过程这些系统中，发现上述扩散假设与Fick扩散模型不相符合，运动步长有时很大，这就是目前正应用越来越广泛的Levy过程。Levy过程像是“有些记忆的醉汉”所为，其特征是步长分布为幂分布（Power Law Distribution of Steps）



非常重要的是：Levy过程的粒子的空间扩散密度函数与稳定分布(也称为Levy分布)有很大关系。稳定分布具有下列特征：遵从某分布的概率变量之和, 如果进行一次适当的变换后, 其分布与原来的分布相同, 象这样的分布就是稳定分布, 换言之，也具有自相似的特性。通常的高斯分布属于稳定分布的一种特殊情况。目前关于稳定分布方面的困惑是它在高于（也包含等于）二阶统计矩均发散（无穷大），Levy分布的尾巴特别长，它在物理上也被称为“怪异分布”。但是这种分布是如此常见，在大自然的非平衡态系统中，经常要与它狭路相逢，一个最常见的例子是经济学中的“长尾效应”。

(2)逾渗理论和分形结构中的反常扩散

自然界中广泛存在着无序和随机结构, 统计物理中的逾渗模型是为了描述流体在无序介质中的随机扩散和流动而建立的。常规的扩散过程是指粒子在介质中无序行走，比如分子热运动，它的无序性来源于运动的随机性；而逾渗模型中的扩散过程无序性和介质本身的无序结构呈现出关联特征。在渗流阈值附近，这时渗流集团具有统计自相似结构，具有标度不变性，可以认为是一个典型的分形，其结构是不规则的，扩散过程也与正常扩散不同，是上面所述的亚扩散；而当大于逾渗阈值很多后，整个点阵上的位置均被占据，这时的逾渗集团是一个各向同性的均匀体，扩散与普通的欧几里德空间规律相同．
研究发现，由于分形结构上存在很多空洞和分支岔道，流体需走很多冤枉路, 扩散过程就缓慢。在分形结构中的随机扩散比欧几里得空间要慢得多，这种扩散特性称为反常扩散或扩散慢化，对应上面所阐述的H<0.5时的分形布朗运动。
由于物质扩散过程受孔隙连通性的影响很大，即使是相同孔隙率的介质, 由于曲折性不同,物质的扩散过程也会不同。为了联系结构分形维数和动态的行走分形维数，需引入谱维数，这样就可以找到一条“几何结构”与“动力学行为” 相联系的途径。连通性不好的介质, 结构分形维数与介质孔隙分布的不均匀性（hetergeneity）有关，谱维数则和孔通道的连通性有关（tortuousity）。谱维数越大，扩散粒子的前进就会受到更大阻碍，不均匀性和连通性对粒子的扩散有相互竞争的效应。
上述模型也同样可以应用于城市交通问题的研究中。

(3)分形结构中动力学模型

1.分数阶的扩散微分方程
因为分形结构本身是处处不可微的，那么传统意义上描述动力学过程的微分方程严格来说就不再成立，比如说泊松方程（调和函数），因为它是描述所取微元体的质量平衡关系，必然要涉及微分，但符合分形特征的结构或布朗运动却是处处不可微的，这就带来了矛盾。数学家们就要作进一步拓展的工作，名之为“分形分析”，最先的成果就是给出了更具一般意义的分数阶微分方程形式，即然是分数阶微分，就非通常所说的一阶微分二阶微分等概念，扩散动力学方程是用来描述概率密度函数演化方程的一种,这里的扩散是广义的概念，包括heat and mass  conduction。
但偶通过随机行走模拟发现，分数阶的扩散微分方程仍然是一种近似方程，即概率密度函数p(r,t)只是一种近似解。为什么这样说？我们可以想象一个平面，如果它上面存在着很多“洞”，即非单连通区域，而大量粒子刚开始聚于一点，然后慢慢散开，它们只能在连通区域内行走，不能进入“洞”中。过一段时间后，你会发现：真正的概率密度分布函数竟然不是连续的，而是也存在着很多“洞”，因为粒子跑不进那些“洞”，所以在非单连通区域的小洞处，概率密度分布函数p(r,t)等于零。
所以用什么样的函数能描述存在着”many hole”的概率密度分布确实是没见过，它不连续。而由分数阶微分方程所给出的结果均是连续分布函数，所以它仍然是近似方程，还是很难触及问题的实质。
所以，碰到的最大难点还是扩散概率密度函数的给出。扩散概率密度分布函数，从另一个角度看，也是heat conduction　equation的基本解中的热核，目前一般采用近似估计的方法。

２．蒙特卡罗方法和 Lattice Boltzmann 方法
采用微分方程讨论分形介质中的物质扩散，总是不太直观。蒙特卡罗方法是随机模拟方法中的一种，应用比较广泛。比如分子、电子等粒子的输运、表面迁移、粒子碰撞等，蒙特卡罗方法可以对这些随机过程进行直接模拟，其基本思想是用随机数来产生一个个粒子的历史，粒子的行走方式由概率模型决定，根据概率模型抽样，通过跟踪大量粒子随机行走的历史再进行统计计算来实行模拟的，其中概率模型是最重要的一步，这要根据具体问题的特点而定。
目前应用这种方法讨论问题分形介质中的transport problem时，如何决定粒子下一步行行走的方向和步长，需建立与问题相应的概率模型。在决定行走方向时，一般假设四个方向等概率，但这种假定肯定是条件的。

Lattice Boltzmann 方法近来在分形介质的物质输运也受到重视,目前主要是应用于流动问题和微尺度问题.这方面的研究如果可能,以后再向大家详细介绍.

３　重整化方法
这种方法广泛应用于相变以及临界动力学问题的研究。相变理论的困难在于它是一个真正的多体问题，其关联长度非常大，即粒子间的相互作用是长程的。以前处理临界问题只能采用“平均场理论”，即把细节均化考虑。

但现在不那样处理了，人们发现：在临界区域附近，存在如海岸线中所展现出的自相似性和标度不变性，用不同倍数的放大镜看，其图像都类似，即分形结构。
临界问题中一个令人无比惊奇的发现是：一些风马牛不相及的相变，比如不同物质的气液相变，以及铁磁转变等，它们的临界指数都基本相同，即在千差万别的相变现象背后存在着普适性规律。

威尔逊在1970年把量子力学中重整化群的方法“嫁接”过来，用于探讨临界相变问题。使得相变理论往前进了一大步。但是偶对重整化方法并没有做过研究，所以不再进一步讨论。

分形模型本身是一个很简单的理论。但由于在大自然当中其存在如此广泛，使得对它的研究一直不断，目前的研究重心也从单纯的分形维数测量向动力学过程转变，从单一分形向多重分形转变，并且从非平衡统计热力学的角度揭示分形的形成机理，这些研究也反过来进一步促进统计热力学的发展.

如果大家感兴趣，更广泛的应用方面研究可以去看刚出版的新发现丛书《世界真的存在吗？》里面介绍了美国杜克大学的Bejan教授的工作。
　　
参考文献：
１．Mandelbrot,《The Fractal Geometry of Nature》, San Francisco, 1983
２．法尔科内，《分形几何-数学基础及其应用》，曾文曲等译，1991
３．J.F. Gouyet, 《Physics and Fractal Structures》,1996,　Springer.
４．R. Balescu, 《Statistical Dynamics》, Imperial College Press,1997.
５．R.泽仑，《非晶态物理学》，黄筠等译, 1988
６．杨展如，《分形物理学》，上海科技教育出版社，1996
７．于渌，郝柏林，《相变与临界现象》，科学出版社，1992
８．辛厚文，《分形介质反应动力学》,:上海科技教育出版社，1997
９．Hambly, Jones , Modeling Transport in Disordered Media via Diffusion on Fractals, Mathematical and Computer Modeling, 2000, 31(1): 129-142
９．新发现丛书，《世界真的存在吗？》，上海锦绣文章出版社，2007

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