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[交流] 【转贴】数学:确定性的丧失的评论

在电影《Fracture》里，有一架颇具象征意味的仪器。灯光幽暗的大屋一角，金属架构蜿蜒盘旋，水晶玻璃小球自高处一路缓慢滑下，闪闪烁烁，衬着老安东尼诡秘的微笑，简直有魅惑人心的力量。在两位主人公漫长的对决中，这个镜头反复出现，以一个精确的、缓慢的、优美的姿态。也许是想说一种秩序，也许是想说一个定局。而我之所以会在这里提到它，是因为它的神秘、精准、有序、看似的无懈可击都与数学暗中契合，而那种因看似的完美所产生的脆弱感，也如M·克莱因在《数学：确定性的丧失》一书中所提到的不确定性一样，足以摇撼整个系统赖以建立的根基。
　　
　　也许这种类比本身是无谓的。毕竟从克莱因另一著作《西方文化中的数学》中可以看到，数学在人类生活中的应用是如此广泛，而语言的功能今天已经过分强大，几乎无物不可打上数学精神的烙印：精确、简洁、和谐。且不论建屋造船、铺路修桥，便在绘画与音乐这样的纯艺术领域，数学也无处不在。毕达哥拉斯学派发现一根拉紧的弦发出的声音取决于弦的长度，而当两根弦的长度成整数比时，它们发出的声音就是和谐的，是谓和弦。还记得小时候看钢琴师傅调音，琴盖打开的刹那，看到洁白的音锤与金属琴弦分列两边，其精密庄严令人肃然起敬。如此恢宏磅礴的乐器得以制成，并演绎无数传世经典，起点却是那一点数量关系的原理。月亮和气球都具有球体的各种性质，酒坛和垃圾桶也可以有相同的体积。在古希腊人那里，各种事物都具有数学上的联系，数是宇宙的质料和形式。它使得自然趋于理性化，使精确的法则和规律的描述成为可能，它来自探索与思考，却走向未知与无解。
　　
　　数学的发展史如同一场华丽纷繁的冒险。它发现一切，解释一切，包容一切。直到18世纪末，数学的尊贵与荣耀都是无与伦比的。如果说上帝创造了宇宙，那么数学就是那张设计图纸。从古希腊开始的探索之路此时仿佛已经走到了尽头，海洋潮汐、日升月落、空气的流动与光线的传播，所有这些都已经得到了充分合理的解释，这些解释都归于数学。再也不可能有比这更光辉的时刻了。难怪拉普拉斯要说，牛顿是最幸运的一个人，因为只有一个宇宙，而他成功地发现了它的定律。从这个角度来看，也许数学家们比教士更适合传达上帝的旨意。
　　
　　人的力量始终是不安分的，随着数学的进一步发展和越来越多成果的展示，神的启示越来越少，上帝的形象日渐模糊，对纯粹的数学结果的追求取代了对上帝的设计的关注。首先受到冲击的是欧氏几何，两千多年来它一直与客观事实完美地互相印证，人们相信它就是物理空间惟一的诠释者。然而在欧几里得提出的五个公理中，平行公理的合理性一直令人生疑。早在希腊时代人们就试图给出它的证明，数学家们耗费了大量的时间和精力却始终未果，以致数学家达兰贝尔在1759年称平行公理问题是“几何原理中的家丑”，它的复杂、尴尬和浑沌简直令数学家们心虚。
　　
　　就是这样一个暗点，终于演变成了数学史上第一次真理的丧失。19世纪20年代德国数学家高斯、匈牙利数学家J·鲍耶和苏联喀山大学的数学教授罗巴切夫斯基几乎同时确认了非欧几何的存在，这种几何的证明由罗巴切夫斯基率先发表，被称为罗巴切夫斯基几何。他去掉了欧氏几何中的平行公理，代之以一个完全矛盾的假设，然后在新的公理假设基础上展开一系列推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新定理，并形成了新的理论。这个理论像欧氏几何一样完善和严密，非欧几何由此产生。它证明了人们长久以来所认定的真理也许只是经验的抽象化表达，一种脱离经验的逻辑几何的存在是完全可能的。不止如此，高斯的弟子黎曼继续研究非欧几何，他的论文证明了非欧几何不仅仅是逻辑意义上的存在，而且完全可以适用于物理空间。人们不再能够肯定究竟哪一种几何是正确的，宇宙的设计也许有必要重新改写。
　　
　　除了几何，已有的代数的地位也岌岌可危。人们在反思中发现，只有经验能够告诉我们，普通的算术何时适用于常见的物理现象；然而如果抛开经验，完全可以建立一种全新的算法并同样实用。就像我们习惯了十进制，但二进制、八进制和十六进制同样也有各自的意义所在，这是无可否认的。无可否认的结论是：数学中没有现实世界普适法则意义上的真理。
　　
　　18世纪被称为数学史上的英雄时代，希腊人的数学大厦经过印度人和阿拉伯人的建构，早已不复牢固，欧洲的数学家们就在缺乏逻辑结构的情况下，探索和创建了一个又一个新的领域，其形其状颇似麦哲伦的环球旅行，成就不可不谓非凡。然而这些不断从思想中抽离的概念与证明，尽管自有其体系，却缺乏一个彼此相容的逻辑基础。在以逻辑严密而著称的欧氏几何也遭到质疑之后，19世纪下半叶，数学家们开始致力于数学的公理化运动，试图给摇摇欲坠的数学大厦建立一个统一的逻辑基础。就在这个过程中，出现了四种独立的知识体系：逻辑主义、直觉主义、形式主义和集合论公理化主义。并进一步出现了关于数学究竟是一个超验的存在，还是只是人类思想的产物之争；换句话说，数学到底是天然的钻石，还是人工宝石？
　　
　　数学课本中永远看不到这些争论。作为一门基础学科，数学直接贴近我们生活的一面不过以四则运算为上限，卑微到令人忽略的地步。但是谁也不能否认“数学是人类为获得精确有效的思维所做出的最广博和最深刻的努力”，而数学所取得的成就是“人类思维能力的量度”。在数字和矩阵背后隐藏着的，不是顺理成章信手拈来的推导，而是更为深邃与光荣的探索；假如你把目光放远一些，你会看到时间与空间的运行。它可以为万物命名，它的浩瀚更胜苍穹，它容许你质疑所有已知的存在，这才是我们一度认为是枯燥乏味的数学的真正面目。
　　
　　全书共分十五章，如果说前十四章是令人着迷的，那么最后一章便是伟大的。在探讨了数学发展过程中令人沮丧和担忧的一切困难之后，克莱因不无骄傲地谈起电磁学理论、相对论和量子理论，作为二十世纪最伟大的科学创造，它们无一例外地广泛使用了现代数学。他曾在前面的章节中忧心忡忡地谈论纯数学与应用数学的分歧，而在这一章中他骄傲地说“数学仍然是可用的最好的知识的典范”，这一刻他难得地让我们窥见了他的赤子之心。如帕斯卡所言，人类不知自己为何来自一无所有，又将如何卷入无穷无尽，他孤立无援地存在于一个陌生的宇宙中，内心惊骇不已。对人类来说，数学即使丧失了其确定性，丧失了真理的身份，也仍然是探幽发微、抵达未知的最好武器。它在赋予人类思维的同时，也赋予了他们无尽的勇气。
　　
　　
　　“音乐能激起或平静人的心灵，绘画能愉悦人的视觉，诗歌能激发人的感情，哲学能使思想得到满足，工程技术能改善人的物质生活；”
　　
　　“而数学则能够做到这一切。”
　　
　　——克莱因

[ Last edited by laizuliang on 2007-12-1 at 20:52 ]

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