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sciencejoy

新虫 (著名写手)

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专业: 高分子物理与高分子物理化

[交流] 结构与散射已有2人参与

散射实验得到的结构函数包含体系中原子相对位置的信息。
根据Chaikin & Lubensky的书，
体系中粒子数密度算子为
$\hat{n}(\mathbf r) = \sum_{\alpha}\delta(\mathbf r - \mathbf r_{\alpha})$ ，
之所以叫算子，是因为 $\mathbf r$ 是动力学变量。

密度关联函数是空间中不同位置密度之积的系综平均。两点密度关联函数为

$C_{nn}(\mathbf r_1,\mathbf r_2) = \langle \hat{n}(\mathbf r_1)\hat{n}(\mathbf r_2)\rangle = \langle \sum_{\alpha \alpha'}\delta(\mathbf r_1 - \mathbf r_{\alpha})\delta(\mathbf r_2 - \mathbf r_{\alpha'}) \rangle$

它的傅里叶变换就是结构函数

$I(\mathbf q) = \int e^{-i\mathbf q\cdot (\mathbf r_1 - \mathbf r_2)}\langle \hat{n}(\mathbf r_1)\hat{n}(\mathbf r_2)\rangle d\mathbf r_1 d\mathbf r_2 = \langle n(\mathbf q) n(-\mathbf q) \rangle$

其中，
$n(\mathbf q) = \int e^{-i\mathbf q\cdot \mathbf r}\hat{n}(\mathbf r)d\mathbf r$ ，
即为密度的傅里叶变换。
涨落的关联函数
$S_{nn}(\mathbf r_1,\mathbf r_2) = \langle \delta \hat n(\mathbf r_1))\delta \hat n(\mathbf r_2)) \rangle = \langle [\hat n(\mathbf r_1)-\langle \hat n(\mathbf r_1)\rangle][\hat n(\mathbf r_2)- \langle \hat n(\mathbf r_2)\rangle] \rangle = C_{nn}(\mathbf r_1 ,\mathbf r_2) - \langle \hat n(\mathbf r_1)\rangle \langle \hat n(\mathbf r_2)\rangle$

其傅里叶变换
$S_{nn}(\mathbf q) = \frac{1}{V}\int d\mathbf r_1 d\mathbf r_2 e^{-i\mathbf q\cdot (\mathbf r_1 -\mathbf r_2)} S_{nn}(\mathbf r_1,\mathbf r_2)$

再看结构函数
$I(\mathbf q)=\int e^{-i\mathbf q \cdot (\mathbf r_1 - \mathbf r_2) } C_{nn}(\mathbf r_1, \mathbf r_2)d\mathbf r_1 d \mathbf r_2 = \int e^{-i\mathbf q \cdot (\mathbf r_1 - \mathbf r_2) } [S_{nn}(\mathbf r_1, \mathbf r_2) + \langle \hat n(\mathbf r_1) \langle \hat n(\mathbf r_2) \rangle]d\mathbf r_1 d \mathbf r_2 = \left |\int e^{-i\mathbf q \cdot \mathbf r} \langle \hat n(\mathbf r) \rangle d \mathbf r  \right |^2 + V S_{nn}(\mathbf q)$
两边同除以体积V，即得结构因子
$S(\mathbf q)=\frac{1}{V}\left |\int e^{-i\mathbf q \cdot \mathbf r} \langle \hat n(\mathbf r) \rangle d \mathbf r \right |^2 + S_{nn}(\mathbf q)$

对分布函数 $g(\mathbf r_1, \mathbf r_2)$ 定义为
$\langle \hat n(\mathbf r_1) \rangle g(\mathbf r_1, \mathbf r_2)\langle \hat n(\mathbf r_2) \rangle \equiv \langle \sum_{\alpha \neq  \alpha'}\delta (\mathbf r_1 - \mathbf r_{\alpha})\delta (\mathbf r_2 - \mathbf r_{\alpha'})\rangle = \langle \sum_{\alpha , \alpha'}\delta (\mathbf r_1 - \mathbf r_{\alpha})\delta (\mathbf r_2 - \mathbf r_{\alpha'})\rangle - \langle \sum_{\alpha}\delta (\mathbf r_1 - \mathbf r_{\alpha})\delta (\mathbf r_2 - \mathbf r_{\alpha})\rangle = \langle \hat n(\mathbf r_1)\hat n(\mathbf r_2) \rangle - \langle \hat n(\mathbf r_1) \rangle \delta (\mathbf r_1 - \mathbf r_2)$
对分布函数 $g(\mathbf r_1, \mathbf r_2)$ 的物理意义，在 $\mathbf r_1$ 处有一个粒子时，在在 $\mathbf r_2$ 处一个体积元内发现另一个粒子的概率。
当体系是均匀系并且平移不变，则有 $g(\mathbf r_1, \mathbf r_2) \rightarrow  g(\mathbf r_1-\mathbf r_2)$
（待续……）

[ Last edited by sciencejoy on 2013-7-19 at 22:19 ]

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