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卡诺热机工作下温度变化过程问题
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两个相同的固体温度T1，T2。直接接触后终态为(T1+T2)/2. 如果在卡诺热机工作下交换热量，终态的温度（T1*T2)^0.5是怎么求的？ 求详细的数学过程。 |
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我知道了，这是一个渐变的过程，相当于低温热源与高温热源变化的卡诺热机。看来熬夜脑子就是转不起来。以下是推导过程： 用微元法 设最终温度为T，从T1->T经过n部，每步步长为deltaT=(T1-T)/n,考察每一步的变化： C*m*deltaT*T2/T1 = C*m*(T21-T2) C*m*deltaT*T21/(T1-deltaT) = C*m*(T22-T21) ...... C*m*deltaT*T2i/(T1-i*deltaT) = C*m*(T2i+1-T2i) ...... C*m*deltaT*T2n-1/(T1-(n-1)*deltaT) = C*m*(T2n-T2n-1) 以上各式化简： T21=T2*(T1+deltaT)/T1 T22=T21*T1/(T1-deltaT) ...... T2i+1=T2i*(T1-(i-1)*deltaT)/(T1-i*deltaT) ...... T2n=T2n-1*(T1-(n-2)*deltaT)/(T1-(n-1)*deltaT) 所以，利用以上各式： T=T2n=(T2n/T2n-1)*(T2n-1/T2n-2)*...*(T21/T2)*T2 =(T1-(n-2)*deltaT)/(T1-(n-1)*deltaT)*...*(T1+deltaT)/T1*T2 注意以上式子前一项的分子正好与后一项的分母约掉，化简得： T=T2*(T1+deltaT)/(T1-(n-1)*deltaT) 将deltaT代入，注意到真实的T应该是n->无穷,即deltaT->0时得到，所以有： T=T2*lim((T1+deltaT)/(T1-(T1-T)*(n-1)/n))=T2*T1/T 所以T^2=T1*T2 T=(T1*T2)^0.5 |
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