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专业: 常微分方程与动力系统

[交流] 牛顿到庞卡莱，ODE = NP？——常微分方程发展史和评述转载已有11人参与

牛顿到庞卡莱，ODE = NP？——常微分方程发展史和评述

Part I 前言

静静地坐在宿舍电脑前，面对着闪烁的荧光屏，窗外早已是烈焰逼人的盛夏时节，小屋里却自成一统，书桌上杂乱地这边两三本GTM，那边Complex Analysis，打开一半的书中简美的数学定理使人在这压抑的季节里感受着几分清爽的气息。很早就想写一篇能够体现一个数学分支发展史中主
要思想的文章了，有一阵子狂热的恋上了物理，在美妙的物理公式背后却往往有很多我不能体会的数学思想，尤以微分方程的理论为甚，我这学期先修了这门课，现在写写我读常微分方程（Ordinary Differential Equation 下面简称ODE）理论及其发展史的一些想法吧。

Part II 历史整体回顾

ODE说来恐怕是所有数学分支中最能体现应用数学的威力吧。人类历史上很长一段时间只有简单的数和形的概念，到了古希腊的时代数学家们已经逐渐体会到数和形如果假定无穷可分将会有更多的性质，而17世纪的Newton将这套思想发挥到了极致引进了微积分的一整套理论。常微分方程是
Newton为了解决他的主业—物理学中无数牵涉到位矢、速度、加速度的问题而自然引进的，说是分析的心脏一点也不过分。ODE在物理、化学的广阔领域里开花结果，但是早期的人们尽管用它解决了很多实际问题但往往是知其然不知其所以然（用过幂级数解决问题的人都会有这种体会）。
ODE就像一位游侠，在江湖的刀光剑影里常常拔刀相助，但平日行踪令人捉摸不透，不知其何去何从。直到18世纪分析的严密化才给ODE理论注入了一剂强心针。一系列琐碎的结论被综合起来，一大套求解ODE方法被系统归纳了，在这个时候，可以用初等函数表示的封闭形式的解求法总算发
展到了巅峰。可是数学家是永远不会满足于现状，事实上人们都知道可以求初等解的微分方程在所有实际问题中永远只能占零测度，世界的绝大部分是不可能定量刻画的。ODE在沉寂了近100年（在此间关于线性微分方程的研究相当深入，但我们也不难知道，线性微分方程同样是“零测度”
这么多！）之后，一代大师Poincare的横空出世，ODE的研究面目完全改观，且不谈他是近代代数拓扑的创始人和伟大的物理学家、哲学家，只是在ODE这个前人认为已经几尽穷竭的领域，以他为首的十九世纪末二十世纪初的数学家们建立了一整套定性理论，对更多的实际问题我们可以找到
刻画系统性状的方法，这就是微分动力系统理论。至Poincare之后ODE仿佛又走进了停滞不前的怪圈，尽管每年论文数目都在急剧上升，但更多的是停留在证明一两个定理，使这个领域发生重大革新的寥寥无几（如果有的话只能说Steve Smale了），ODE再次走到了“山穷水尽疑无路”的地
步，想知道未来能否柳暗花明就有必要仔细地研究历史上这个领域的几次翻天覆地的变化蕴含着的数学思想的变化。

Part III 物理学产生的数学——微分方程早期发展

这一阶段主要问题集中在经典力学之中，典型的几个例子是：二体运动、悬链线、最速降线。可以看出，这个时候的微分方程尚未脱离物理学而单独成为数学的一门分支，因为它本身有太多的偶然性，当时Newton、Lebinitz等人甚至觉得连续的函数一定可微，对于极限的概念也很不明确，
觉得级数都可以当作收敛的来处理(事实上，当时的人们根本没有收敛的概念！！)。在默认了以上一系列不合理的假设（用Poincare在《科学与假设》中所讲的，就是：“这种假设就是由精神一手创造的，这也是实验提供它的机会”）之后，自然而然有了很多微分方程的解法（很多现在看
来过程是错的，而结果确令人惊奇的吻合！），Bernoulli、Riccatti在这方面做了相当多的工作，物理中常用的微分方程都得到了解决。正如其他正在兴起的学科，初期ODE的发展也是一个散乱的集合，几条可以看成公理的性质，和一群孜孜不倦想把他们统一起来的数学家。而Euler，
Cauchy，Gauss，Lagrange，Abel，Legrendre等人担起了这个重任。

Part IV 分析严密化－＞微分方程精细刻画

幂级数、特殊函数、一阶和高阶微分方程组、变分法是这一时期数学的关注焦点，从本质上焦点应该是ODE的实用性，因为大多数方程是不可能有简单求解法，所以人们退而求其次，希望找到一个解析的幂级数解，然而幂级数性质还是太特殊了，连dy/dx=(y-x)/x这种显而易见有初等解法的
微分方程都找不到幂级数解。人们又想到把幂级数乘上一个x的a次幂，即是著名的Frobenius幂级数（即广义幂级数），这样还是对原来方程要求很高，正则奇异点的条件仍然很难满足，幂级数的实用在这个地方大体上就打住不再向前了。这个时候物理学家是满意了，因为物理学那个时代
还只有简单的一些力学、电磁学、热学的定律，形式上无非都是可以展成幂级数形式的。分析的严密化和幂级数的发展是相互作用的：幂级数的应用需要分析的严密，分析的严密反过来让我们知道更多关于合理使用幂级数的信息，在分析“拟完备”之后（真正的完备要等到二十世纪初期）
，Cauchy的一个结果：dy/dx=f(x,y)，f可以展成x,y收敛幂级数形式则原方程有解析解，物理公式中f的简单性质决定了目前数学家的工作对于物理学家是足够的。恐怕数学家不能满意……因为数学家永远是最好奇的一群人，他们不但想知道花为什么会开还想仔细了解它的根、茎、叶各个
方面的结构……

在特殊函数方面同样数学家也有类似困扰，一个个简洁美丽的物理学方程到了数学家手里得到一长串幂级数的展开（常常还外带一个甚至不能用广义幂级数展开的解，只能从Liouville定理中推出），为了解决这个问题，数学家们又引入特殊函数。在数学史上不乏这种思想：一类复杂问题
的解决，往往是从中寻找问题的构件，通过对构件性质建立一套完整的体系反过来研究原始问题。特殊函数也是这样，可以断言：Legendre多项式、Bessel函数、Gauss超几何级数的形式美不是很多人所能体会的（恐怕只有那些大师们能敏锐地捕捉到中间的美感），但是一个普通人看到这
些函数之间或者他们本身赋予不同的参数值时的联系，和原始的幂级数形式一比较，无疑都会感叹数学的精妙。这套理论的登峰造极自然是Jacobi和Abel的椭圆函数论，在现在这个几何、拓扑流行的年代看来好像也是一些琐碎的结果，但在古典分析中，任何将我们可以“comprehend”的事
物范围扩大都是一件很艰难的事情。G.F.Symons说：“如果一个学生不在大学时代学习类似几何级数、伽玛函数一类丰富多彩的内容，那么以后他没有什么机会再去学了”。动力系统理论的发展无疑使椭圆函数的地位被贬低了，但是其美丽简谐的关系恰恰是数学家处理一般问题方法的真实
写照和获得赏心悦目的美感的源泉。

高阶线性微分方程组则是现实的需要产生的，其实即使生活中没有使用它的必要，数学家们也会将其视为一阶方程组的相当自然的推广。这方面的研究有很多琐碎的结果，仅有的成型的理论限于常系数方程组，这就不多提了。

纵观这一阶段的发展，微分方程求解理论已经从以前的零零碎碎用积分因子等解决单个问题进化到对一大类问题提出整体理论，但数学家们的胃口永远不会满足，因为求解的方法再多总给人一种空中楼阁的感觉，对一般的问题甚至连解的存在性和唯一性的理论都不清楚，真正的ODE理论的
奠基直到十九世纪末……

Part V 源于定性，归于定性

我们总喜欢把近代微分方程鼻祖归结为Poincare，就像我们喜欢把微积分归于Newton,Lebinitz一样。事实上微积分的发展就是从Archimides时代开始到Newton的老师Barrow以及著名数学家Fermat雏形向成熟发展的一个过程。微分方程同样如此，我个人觉得：定性理论的起源有以下几个：
（1）解的存在唯一性的研究；（2）基本解组元素间的关系；（3）解曲线的空间性质研究。（1）由Picard,Osgood,Peano等人给予完善，但仍然遗留下一个最严重的问题：存不存在判断微分方程dy/dx=f(x,y)的解存在唯一性的充要条件，这个问题看来势必是非常困难的（有可能是Godel类
不可证明问题？），而Picard定理和Peano定理已经在大多数场合下是足够的，因此这个方向是近代最早的也是目前最趋向于竭尽的方向，但在未来仍有不可预测的前景，因为物理学的量子化导致形成不连续的世界，对于微分方程条件的改变可能引起的变革目前还很难说。（2）由Sturm的
几个技巧性极高的定理所描述，现在看来意义也不是太大。（3）则是现代微分动力系统理论的源泉，我们着重谈谈：

1892-1899的《天体力学的新方法》是这一理论的经典之作，开创了非线性微分方程的定性理论，这本著作的面世，源于Poincare参加奥斯卡国王奖时对于n体问题的研究，二体问题在一般的ODE书籍中已经有介绍，最早是由Bernoulli做出的，通过巧妙的方法把本来有六个自由度的二体系统
自由度降到了一个，但三体及三个以上天体系统则非常复杂。Poincare始终也没完全解决这个问题（又是一个人类心智所不可能解决的问题？）但是他关于轨道的稳定性问题、守恒系统、微分方程的周期解的研究，直接引领了接下来近100年这个领域的研究潮流。关于定性理论的详细知识
我们无法在这里提及太多，但历史上有一件十分有趣的事情，当年Poincare的获奖论文的原始思想蕴含着拓扑学和符号动力系统的理论，但其中含有一处致命的错误，Mittag-Leffler为了保全Poincare的面子下令把印刷完的文章都销毁，现在世人看到的是改过的文章。然而近100年后，美
国一位学者在整理文稿时惊奇的发现那处致命的错误其实是关于混沌的最早研究，他的思想整整领先同时代人一百年！无外乎PKU的杨磊老师评价：“在读Poincare全集的过程中，每一处可能疏忽过去的地方都可能是新的数学分支的入口。”

然而，正和其他学科一样，革新总是短暂的，更多的时间是为了新的革新而做的准备工作,现在的大量论文正是如此。那么，未来的微分方程核心将是什么呢？恐怕谁也说不上，笔者所学知识极其有限，自然无法似D.Hilbert那样以磅礴之势挟23个问题而左右20世纪的数学研究，但仍有一些
对于未来研究的想法。本来此文就此打住即可，再写一段未免狗尾续貂，可是作者本身就自认为“狗帮”的，犬吠既可，断尾又何妨呢？试看下文：

Part VI 21世纪微分方程展望

在计算机出现前，即使人类有足够的理由相信决定论，认为世界是可以用一系列微分方方程来描述，由于计算工具的匮乏，也根本无法付诸实践。随着计算机速度的飞速提高，微分方程开始有可能精准的描述自然界的奥秘了，微分方程数值解作为计算数学的一大组成部分，在二十一世纪的
前20~30年内必然还是可以吸引一大批研究者。微分动力系统理论里仍然有无数的“大”问题期待解决，可是这些都不是根本性的改变，根本性的改变有可能集中在以下几个方面：
（1）代数微分方程。正如拓扑群、代数几何把几何和代数巧妙的结合在一起，在上帝看来，分析和代数绝对不是孤立的，Lie恐怕是瞥见其中少许奥秘的人，Lie群就是考虑可微群的结构，那么可微的代数方程会是怎么样的呢？这恐怕值得研究。
（2）离散动力系统的微分化，现代物理理论决定了很多过程是不可以简单的视作连续过程，如何将离散的动力系统用一套严密的理论化为稍微容易考虑的连续系统以及其反问题，在现代信息科技领域中将十分重要。
（3）这只是我的一个大胆的猜想，当前密码学主要依赖数论算法，如果化为同样变化莫测难以定性的微分方程，尤其是非线性微分方程的加密方法（公钥体系的一大原则就是：加密和解密过程有一向是平凡的另一项确是复杂至极的），大家知道解非线性微分方程是“零测度”可能的，
那么用它作为加密手段呢？

Newton和Poincare无疑是微分方程史上真正可以傲视群雄的两颗巨星，其他数学家更多的是沿着他们走过的道路，微分方程目前的死结状态和理论的极度不完备看似矛盾，实质上可能是缺乏N、P两位大师这类人物的出现，谁能使ODE≠NP呢？我期待着在二十一世纪微分方程的研究领域中，
可以看到我们中国人的影子，廖山涛、文兰等教授已经在这一方面为提高中国数学的地位做了很多，可是同样是这一领域的Smale却以毫无戏谑完全诚恳的态度指出：“中国的数学等于零”，相信每一个中国数学研究者都会感到震撼和羞愧。我不是一个民族沙文主义者，但我仍然希望，中
国未来可以在这一领域拥有绝对的权威，形成自己的微分方程学派！

Part IIV 后记

这篇文章初衷是写给自己消遣的，写着写着就有想和其他人分享我的主张的想法。合上电脑桌边的六七本常微分方程的书籍，凝视着屏幕上一长列伟人的名字：Newton，Bernoulli，Cauchy，Euler，Gauss，Hamilton，Legendre，Abel，Jacobi，Sturm，Picard，Peano，Poincare，
Kolmogorov，Lyapunov，Arnold，Littlewood，Birkhoff，Smale……这一行名字在不久的将来还会继续增长，只要热寂说不成立、人类不灭绝这一列名字个数恐怕也没有渐进稳定点……平时习惯了利用前人的智慧结晶，唯有当自己静坐着，慢慢品味前人产生智慧的过程，自己的智慧才真
正受到一次全新的洗礼。最后，愿意以Poincare的话结束本文：

“科学家研究自然是因为他喜欢它，他喜欢它是因为它美，如果自然不美，它就不值得被人知道，而如果自然不值得知道，人也就不值得活下去，当然，我这里说的并不是那种激动感官的美——那种品质上和外观上的美；并不是我低估那种美，远远不是如此，但那种美和数学不相干；我说
的是各部分之间和谐有序的更深刻的美，是一个纯洁的心灵所能掌握的美。”

[参考文献]

1.    微分方程——附应用及历史简注  [美]G.F.塞蒙斯  人民教育出版社
2.    常微分方程教程  丁同仁李承治  高等教育出版社
3.    天遇  F.Diacu P.Holmes  普林斯顿科学文库2

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